群的同态与同构

介绍 ：
我们可以说“o”是对集合 G 的二元运算，如果： G 是一个非空集合 & G * G = { (a,b) : a , b∈ G } 和 o : G * G –> G . 这里，aob 表示函数/操作o 下有序对(a,b) 的图像。
示例 – “+” 被称为对 G(任何非空集)的二元运算，如果 & 仅当： a+b ∈G ； ∀ a,b ∈G 和 a+b 每次相加都给出相同的结果。
真实的例子– ‘+’ 是对自然数集 ‘N’ 的二元运算，因为 a+b ∈ N ； ∀ a,b ∈N 和 a+b a+b 每次相加都给出相同的结果。

二元运算法则：
在二元运算 o 中，使得： o : G * G –> G 在集合 G 上是：
1. 交换 –

aob = boa ; ∀ a,b ∈G

示例：’+’ 是对自然数集 ‘N’ 的二元运算。取任意 2 个随机自然数，比如 6 & 70，所以这里 a = 6 & b = 70，
a+b = 6 + 70 = 76 = 70 + 6 = b + a
对于自然数下的所有数字都是如此。

2. 联想——

ao(boc) = (aob)oc ; ∀ a,b,c ∈G

示例：’+’ 是对自然数集 ‘N’ 的二元运算。取任意 3 个随机自然数，比如 2、3 和 7，所以这里 a = 2 & b = 3 和 c = 7，
LHS : a+(b+c) = 2 +( 3 +7) = 2 + 10 = 12
右轴：(a+b)+c = (2 + 3) + 7 = 5 + 7 = 12
对于自然数下的所有数字都是如此。

3. 左分配——

ao(b*c) = (aob) * (aoc) ; ∀ a,b,c ∈G

4. 权利分配——

(b*c) oa = (boa) * (coa)  ; ∀ a,b,c ∈G

5. 左取消 –

aob =aoc  => b = c  ; ∀ a,b,c ∈G

6. 正确取消 –

boa = coa  => b = c ; ∀ a,b,c ∈G

代数结构：
配备 1 个/多个二元运算的非空集 G 称为代数结构。
示例： (N,+) 和 b。 (R, + , .)，其中 N 是一组自然数，R 是一组实数。这里 ‘ 。 ‘(点)指定乘法运算。

团体 ：
如果二元运算“o”满足以下属性，则代数结构 (G , o) 其中 G 是非空集 & ‘o’ 是定义在 G 上的二元运算，则称为组 –

1.关闭–

a ∈ G ,b ∈ G  => aob ∈ G ;  ∀ a,b ∈ G

2.关联性——

(aob)oc = ao(boc) ; ∀ a,b,c ∈ G.

3.身份元素–
在 G 中存在 e 使得aoe = eoa = a ； ∀ a ∈ G(示例 – 对于加法，恒等式为 0)

4.逆的存在–
对于每个元素 a ∈ G ；存在一个逆(a ^-1 )使得 ： ∈ G 使得 – aoa ^-1 = a ^-1 oa = e

群的同态：
设 (G,o) & (G’,o’) 为 2 个群，从群 (G,o) 到群 (G’,o’) 的映射“f”被称为同态，如果 –

f(aob) = f(a) o' f(b) ∀ a,b ∈ G

这里的要点是：映射 f : G –> G’ 可能既不是一对一也不是映射，即 ‘f’ 不需要是双射的。

例子 –
如果(R,+)是’+’运算下的一组所有实数&(R -{0},*)是’*'(乘法)运算下的另一组非零实数&f是从 (R,+) 到 (R -{0},*) 的映射，定义为： f(a) = 2 ^a ； ∀ a ∈ R
那么 f 是一个同态，如 – f(a+b) = 2 ^a+b = 2 ^a * 2 ^b = f(a).f(b) 。
因此满足同态规则，因此 f 是同态。

同态成 –  
映射 ‘f’，即同态，也是 Into。

同态到–
映射 ‘f’，即同态 & 也到。

群的同构：
设 (G,o) & (G’,o’) 为 2 个群，从群 (G,o) 到群 (G’,o’) 的映射“f”被称为同构，如果 –

1. f(aob) = f(a) o' f(b) ∀ a,b ∈ G
2. f is a one- one mapping
3. f is an onto mapping.

如果 ‘f’ 是同构映射，则 (G,o) 将同构于组 (G’,o’) & 我们写：

G ≅ G'

注意：映射 f: X -> Y 被称为：

1. 一 – 一 – 如果 x ₁ ≠x2，则 f(x ₁ ) ≠ f(x ₂ ) 或者如果 f(x ₁ ) = f(x ₂ ) => x ₁ = x _2。其中 x ₁ ,x ₂ ∈ X
2. Onto – 如果集合 Y 中的每个元素都是集合 X 中至少一个元素的 f 图像。
3. 双射——如果是一一的。

同构群的例子——
如果 G 是 3 个立方根单位的乘法群，即 (G,o) = ( {1, w, w ² } , *) 其中 w ³ = 1 & G’ 是整数模 3 的加法群 – (G’, o’) = ( {1,2,3) , + ₃ )。则： G ≅ G’ ，我们称 G 与 G’ 同构。

• 两个表的结构和顺序相同。映射“f”定义为：
  f : G -> G’ 使得 f(1) = 0 , f(w) = 1 & f(w ² ) = 2。
• 同态性质： f(aob) = f(a) o’ f(b) ∀ a,b ∈ G 。让我们取 a = w & b = 1
  LHS : f(a * b) = f( w * 1 ) = f(w) = 1。
  右HS : f(a) + ₃ f(b) = f(w) + ₃ f(1) = 1 + 0 = 1
  => 左侧 = 右侧
• 这个映射 f 是一对一的，因此也是一个同态。