数学 |环同态

先决条件：戒指

环同态：
一套$R$任意两个二元运算$R$表示为$+$和$*$称为环表示为$(R, +, *)$ ， 如果$(R, +)$是阿贝尔群，并且$(R, *)$是半群，也遵循左右分配律。

两个环$(R,+,*)$和$(S,⨁,$ [特克斯]\次[/特克斯] $)$映射$f : R → S$称为环同态，如果

1. $f (a + b) = f (a) ⨁ f (b)$ , ∀a, b ∈ $R$ .
2. $f(a * b) = f(a) \times f(b)$ , ∀a, b ∈ $R$ .
3. $f$ [特克斯]( [/特克斯]I _R $)$$=$ I _S ，如果 I _R和 I _S是集合的恒等式（如果它们存在，在具有统一性的环的情况下） $R$超过$*$并设置$S$超过$\times$分别操作。

注意：戒指$(S,⨁, \times )$称为环的同态图像$(R,+,*)$ .

例子 ：

1. 函数f(x) = x mod(n) 来自组 ( $Z$ ,+,*) 到 ( $Z$ _n ,+,*) ∀x ∈ $Z, Z$是整数组。 + 和 * 分别是简单的加法和乘法运算。
2. 函数f(x) = x 对于任意两组 (R,+,*) 和 (S,⨁, $\times$ ) ∀x ∈ R，称为恒等环同态。
3. 函数f(x) = 0 对于组 (N,*,+) 和 (Z,*,+) 对于 ∀x ∈ N。
4. 函数f(x) = 是复共轭形式群 (C,+,*) 到自身，这里 C 是复数集。 + 和 * 分别是简单的加法和乘法运算。

注意：如果 f 是 (R,+,*) 和 (S,⨁) 的同态， $\times$ ) 然后 f(O _R ) = f(O _S ) 其中 O _R和 O _S分别是集合 R over + 和集合 S over ⨁ 操作的恒等式。

注意：如果 f 是来自 (R,+,*) 和 (S,⨁) 的环同态， $\times$ ) 那么 f : (R,+) → (S,⨁) 是群同态。

环同构：
A one one and on 同态从环$R$响铃$S$称为环同构，并且$R$和$S$是同构的。

环自同构：
从环到自身的同态称为环自同构。

场同态：
对于两个字段$(F,+,*)$和$(K,⨁, \times)$映射$f : F → K$称为域同态，如果

1. $f(a + b) = f(a) ⨁ f(b)$ , ∀a, b ∈ $F$ .
2. $f(a * b) = f(a) \times f(b)$ , ∀a, b ∈ $F$ .
3. $f($_我$)$$=$ I _K ，其中 I _F和 I _K是集合的恒等式$F$超过$*$并设置$K$超过$\times$分别操作。
4. $f($ _F $)$$=$ _OK , 其中_OF和_OK是集合的恒等式$F$超过$+$并设置$K$超过$⨁$分别操作。