括号定理

括号定理用于图的 DFS。它指出深度优先搜索树中的后代有一个有趣的特性。如果v 是 u 的后代，则v的发现时间晚于u 的发现时间。
在图 g = (V, E) 的任何 DFS 遍历中，对于任意两个顶点 u 和 v 正好满足以下条件之一：

• 区间[d[u], f[u]]和[d[v], f[v]]完全不相交，并且u和v都不是深度优先森林中另一个的后代。
• 区间[d[u], f[u]]包含在区间[d[v], f[v]] 内，并且 u 是深度优先树中 v 的后代。
• 区间[d[v], f[v]]完全包含在区间[d[u], f[u]] 内，并且 v 是深度优先树中 u 的后代。

边缘分类：
DFS 遍历可用于对输入图 G=(V, E) 的边进行分类。可以根据深度优先森林定义四种边缘类型：

1. 树边：它是在图上应用 DFS 后获得的树中存在的边。
2. 前向边：它是一条边 (u, v)，使得 v 是后代但不是 DFS 树的一部分。
3. Back edge：它是一条边 (u, v)，使得 v 是边 u 的祖先，但不是 DFS 树的一部分。后边的存在表示有向图中的循环。
4. Cross Edge：它是连接两个节点的边，它们之间没有任何祖先和后代关系。

给定N个顶点和M 个边的图，任务是将 M 个边分类为树边、前向边、后向边和交叉边。

例子：

Input: N = 5, M = 7, arr[][] = { { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 3, 4 }, { 1, 4 }, { 2, 5 }, { 5, 1 }, { 3, 2 } } } 
Output: 
{1, 2} -> Tree Edge 
{1, 3} -> Tree Edge 
{3, 4} -> Tree Edge 
{1, 4} -> Forward Edge 
{2, 5} -> Tree Edge 
{5, 1} -> Backward Edge 
{3, 2} -> Cross Edge 
Explanation: 
1. Green Edges: Tree Edge 
2. Blue Edges: Forward Edge 
3. Black Edges: Backward Edge 
4. Red Edges: Cross Edge 
Below is the given graph for the above information: 
 

Input: N = 5, M = 4, arr[][] = { { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 3, 4 }, { 1, 4 } } 
Output: 
{1, 2} -> Tree Edge 
{1, 3} -> Tree Edge 
{3, 4} -> Tree Edge 
{1, 4} -> Forward Edge 
Explanation: 
1. Green Edges: Tree Edge 
2. Blue Edges: Forward Edge 
3. Black Edges: Backward Edge 
4. Red Edges: Cross Edge 
Below is the given graph for the above information: 
 

方法：

1. 在给定的图上使用 DFS 遍历来查找每个节点的发现时间和完成时间以及父节点。
2. 通过使用括号定理在以下条件下对给定的边进行分类：
   • 树边：对于任意边(U, V) ，如果节点 U 是节点 V 的父节点，则(U, V)是给定图的树边。
   • 前向边：对于任何边(U, V) ，如果节点 V 的发现时间和完成时间与节点 U 的发现时间和完成时间完全重叠，则(U, V)是给定图的前向边。
   • 后向边：对于任何边(U, V) ，如果节点 U 的发现时间和完成时间与节点 V 的发现时间和完成时间完全重叠，则(U, V)是给定图的后向边。
   • 交叉边：对于任意边(U, V) ，如果节点 U 的发现时间和完成时间与节点 V 的发现时间和完成时间不重叠，则(U, V)是给定图的交叉边。

下面是上述方法的实现：

C++

// C++ program for the above approach
 
#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
 
// For recording time
int tim = 0;
 
// For creating Graph
vector > G;
 
// For calculating Discovery time
// and finishing time of nodes
vector disc, fin;
 
// For finding Parent of node
vector Par;
 
// For storing color of node
vector Color;
 
// Recursive function for DFS
// to update the
void DFS_Visit(int v)
{
 
    // Make the current nodes as visited
    Color[v] = 'G';
 
    // Increment the time
    tim = tim + 1;
 
    // Assign the Discovery node of
    // node v
    disc[v] = tim;
 
    // Traverse the adjacency list of
    // vertex v
    for (auto& it : G[v]) {
 
        // If the nodes is not visited,
        // then mark the parent of the
        // current node and call DFS_Visit
        // for the current node
        if (Color[it] == 'W') {
            Par[it] = v;
            DFS_Visit(it);
        }
    }
    Color[v] = 'B';
    tim = tim + 1;
    fin[v] = tim;
}
 
void DFS(vector >& G)
{
 
    // Initialise Par, disc, fin and
    // Color vector to size of graph
    Par.resize(G.size());
    disc.resize(G.size());
    fin.resize(G.size());
    Color.resize(G.size());
 
    // Initialise the Par[], Color[],
    // disc[], fin[]
    for (int i = 1; i < G.size(); i++) {
        Color[i] = 'W';
        Par[i] = 0;
        disc[i] = 0;
        fin[i] = 0;
    }
 
    // For every vertex if nodes is
    // not visited then call DFS_Visit
    // to update the discovery and
    // finishing time of the node
    for (int i = 1; i < G.size(); i++) {
 
        // If color is 'W', then
        // node is not visited
        if (Color[i] == 'W') {
            DFS_Visit(i);
        }
    }
}
 
// Function to check whether
// time intervals of x and y overlaps
// or not
bool checkOverlap(int x, int y)
{
 
    // Find the time intervals
    int x1 = disc[x], y1 = fin[x];
    int x2 = disc[y], y2 = fin[y];
 
    // Complete overlaps
    if (x2 > x1 && y1 > y2) {
        return true;
    }
    else {
        return false;
    }
}
 
// Function to check which Edges
// (x, y) belongs
string checkEdge(int x, int y)
{
 
    // For Tree Edge
    // If x is parent of y, then it
    // is Tree Edge
    if (Par[y] == x) {
        return "Tree Edge";
    }
 
    // For Forward Edge
    else if (checkOverlap(x, y)) {
        return "Forward Edge";
    }
 
    // For Backward Edge
    else if (checkOverlap(y, x)) {
        return "Backward Edge";
    }
 
    else {
        return "Cross Edge";
    }
}
 
// Function call to find the Tree Edge,
// Back Edge, Forward Edge, and Cross Edge
void solve(int arr[][2], int N, int M)
{
 
    // Create graph of N size
    G.resize(N + 1);
 
    // Traverse each edges
    for (int i = 0; i < M; i++) {
 
        int x = arr[i][0];
        int y = arr[i][1];
 
        // Make Directed graph
        G[x].push_back(y);
    }
 
    // DFS call to calculate discovery
    // and finishing time for each node
    DFS(G);
 
    // Condition for Tree Edge, Forward
    // Edges, Backward Edge and Cross Edge
    for (int i = 0; i < M; i++) {
 
        int x = arr[i][0];
        int y = arr[i][1];
 
        // Function call to check Edges
        cout << "{" << x << ", " << y
             << "} -> " << checkEdge(x, y)
             << endl;
    }
}
 
// Driver Code
int main()
{
 
    // Number of Nodes
    int N = 5;
 
    // Number of Edges
    int M = 7;
 
    // Edges for the graph
    int arr[M][2]
        = { { 1, 2 }, { 1, 3 },
            { 3, 4 }, { 1, 4 },
            { 2, 5 }, { 5, 1 },
            { 3, 1 } };
 
    // Function Call
    solve(arr, N, M);
 
    return 0;
}

输出：

{1, 2} -> Tree Edge
{1, 3} -> Tree Edge
{3, 4} -> Tree Edge
{1, 4} -> Forward Edge
{2, 5} -> Tree Edge
{5, 1} -> Backward Edge
{3, 1} -> Backward Edge

时间复杂度： O(N)，其中 N 是图中节点的总数。

辅助空间： O(N)

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