📜  对图表的观察

📅  最后修改于: 2021-10-25 03:33:30             🧑  作者: Mango

是一种非线性数据结构,用于表示一组对象,其中一些对象对是连接在一起的。互连的对象由称为顶点的点表示,连接顶点的线称为。顶点由V表示,边由E表示。也可以说图是一对集合(V, E) 。例如:

在上图中,顶点集V = {0, 1, 2, 3}和边集E = {(0, 1), (0, 3), (1, 2), (1, 3 ), (2, 3)}

对图形的一些观察是:

  • 不考虑自环的 N 个顶点的无向图中的最大边数:由于每个节点都可以连接到所有其他节点,因此第一个节点可以连接到(N-1) 个节点。第二个节点可以连接到(N – 2) 个节点,依此类推。所以,
  • N 个顶点的有向图中不考虑自环的最大边数:每条边都有它的起始顶点和结束顶点。起始顶点有N 个选择。由于没有自环,结束顶点有 (N – 1) 个选择。因此,通过将这些选择相乘来计算所有可能的选择。所以,
  • N 个顶点的自循环图中的最大边数:
  • 具有 N 个顶点的无向图中的最小边数:由于图是连通的,因此从每个顶点到每个其他顶点必须有唯一的路径,删除任何边都会使图断开连接。最小值是通过在上三角形的每一行中放置 1 来实现的。现在,如果邻接矩阵的维数为NxN ,则第一行在上三角形中有 (N – 1) 个元素,第二行在上三角形中有(N – 2) 个元素,依此类推。最后一行在上三角形中有 0 个元素。也就是说,总共有 (N – 1)行“带有一个上三角形”,每行只有1 。所以,
  • 具有 N 个顶点和 E 条边的未加权图可能的邻接矩阵数:对于具有 N 个顶点的未加权图,它可以表示为(NxN)矩阵(二维数组),每个值要么是0 (表示非- 边的存在)或 1 (表示边的存在)。

现在,如果第一行有 N 个不同的选择,第二行就有(N – 1) 个选择(因为关于边 1、2 的信息是已知的),依此类推。所以总的可能性是:

或者也可以说它等于N个元素的排列数即N! .

  • 具有 N 个顶点和 E 条边的图可能的邻接表的数量:类似于上面的解释。它等于边的排列数,即E! .
  • 设 G 是一个图,其中所有顶点的度数至少为 2。那么 G 包含一个循环:假设G很简单,让 P 是最长的路径,如(v 0 v 1 v 2 …v a−1 v a ) 。由于已知v a的度数 > 2 ,因此v a必须与至少一个不是(v a – 1) 的顶点 v相邻,如果v ∉ {v 0 , …, v a − 2 } ,那么它可以将路径 P扩展到 v 。然而,P 被选择为最大长度,所以这是不可能的,因此v ∈ {v 0 …, v a – 2 } 。因此,如果v = v i ,则 v i+1 , …, v a, v i 是一个循环。
  • 凯莱公式:

如果您希望与专家一起参加现场课程,请参阅DSA 现场工作专业课程学生竞争性编程现场课程。