查找总和等于给定金额的最小数量的纸币和值

这是一个经典的面试题，在实际生活中也有很多应用场景，比如找零、货币兑换等。要求编写一个函数，输入一个总金额和一组纸币面额，输出最小数量的纸币和值，使其等于总金额。如果无法组成总金额，则返回 -1。

解法

该问题可以采用动态规划求解，具体思路如下：

1. 定义状态：我们用 dp[i] 表示凑出金额 i 的最小数量，那么最终结果就是 dp[amount]，其中 amount 是给定的总金额。

2. 初始化：将 dp 数组全部初始化为无穷大，但 dp[0] = 0。因为凑出金额为 0 需要 0 张纸币。

3. 状态转移：对于每种面额的纸币，我们可以选择使用或者不使用，因此状态转移方程为：

   dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1)
   

   其中 coins[j] 表示第 j 种纸币面额，i - coins[j] 表示在不使用当前面额的情况下，凑出剩余金额的最小数量，然后加上当前面额的一张纸币，就可以得到凑出金额 i 的最小数量。

4. 返回值：如果最终的答案为无穷大，则说明无法组成总金额，返回 -1。

代码实现

下面是使用 Python 语言实现的代码：

def coinChange(coins, amount):
    dp = [float('inf')] * (amount + 1)
    dp[0] = 0

    for i in range(1, amount + 1):
        for j in range(len(coins)):
            if i - coins[j] >= 0:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1)

    return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1

该函数的时间复杂度为 $O(nm)$，其中 n 是总金额，m 是纸币的种类数。空间复杂度为 $O(n)$。