如何将复数转换为指数形式？

复数是 a + ib 形式的数字表示方式，其中 a 和 b 代表实数，代表虚数。例如，2 + 5i 是一个复数，其中 2 和 5 是代替 a 和 b 的实数。而且，i 是虚数。

复数的不同形式

复数分为矩形形式、极坐标形式和指数形式三种形式。在这三种一般形式或矩形形式中，作为表示复数的标准和最简单的方式。如果想将复数的形式从矩形更改为任何其他形式。首先，确定模量的 r 和 θ。

下面提到了表示复数的三种不同形式及其数学表示。

• 长方形

z = a + ib

• 极地形式

z = r(cosθ + isinθ)

• 指数形式

z = r exp(iθ)

复数的分类

复数根据数字的实部和虚部分为不同的组。在标准复数形式的基础上，z = a + ib 复数分为四种类型。

• 零复数

a = 0 和 b = 0

复数的形式为 0 + i0。

例如 0（零）

• 纯实数

a ≠ 0 且 b = 0

复数的形式将是 a。

例如 2、3、7 等

• 纯虚数

a = 0 且 b ≠ 0

复数的形式是ib。

例如：-7i、-5i、3i 等

• 虚数

a ≠ 0 和 b ≠ 0

复数的形式为 a+ib。

例如：(-1 – i)、(1 + i)、(1 – i) 等

如何将复数转换为指数形式？

解决方案：

If there is a complex number in polar form z = r(cosθ + isinθ), use Euler’s formula to write it into an exponential form that is z = re^(iθ). Let’s take a look at the derivation,

Derivation of exponential form

• The exponential form of a complex number can be written as

z = re^iθ

• Complex number in polar form is written as

z = r(cosθ + isinθ)

• Now, we have Euler’s formula

e^iθ = cosθ + isinθ

• Using Euler’s formula we can replace the cosθ + isinθ in an e^iθ to obtain the exponential form of a complex number.

z = r(cosθ + isinθ)

z = re^iθ

示例问题

问题 1：将复数 2 + 3i 转换为指数形式。

解决方案：

r = $\sqrt{(2)^2+(3)^2}$=√13

θ = tan^-1(3/2) = 0.982radians

In the exponential form,

re^iθ = √13e^0.982i

问题 2：将复数 16 + 51i 转换为指数形式。

解决方案：

r = $\sqrt{(16)^2+(51)^2}$= 53.45

θ = arctan(51/16) = 1.27radians

In the exponential form,

re^iθ = 53.45e^1.27i

问题 3：将复数 12 + 87i 转换为指数形式。

解决方案：

r = $\sqrt{(12)^2+(87)^2}$= 87.82

θ = arctan(87/12) = 1.43radians

In the exponential form,

re^iθ = 87.82e^1.43i