评估给定的总和： ∑ _k=1 ³⁰ (4k ² -100k)

环顾四周，从早上偷看时钟或闹钟到人们被数字包围的所有行为。使用一组规则和符号在数轴上表示这些数字的方式称为数系。在现实世界中，一般使用从 0 到 9 的数字，这种数字系统称为十进制数系统。任何数字系统中存在的总位数称为该特定数字系统的基数或基数。在十进制数系统中，它是“10”。

除了十进制数系统，还有二进制数系统（以 2 和 0 为基数，1 为数字）。八进制数系统（以 8 和 0-7 为基数）和十六进制数系统[以 16 为基数，由数字 (0-9) 和六个字母 (A、B、C、D、E、F) 组成]。试试看，加起来 5。看起来很简单，不是吗？可能它可能只是在你的脑海中计算出来的（1 + 2 + 3 + 4 + 5）。但是如果要求添加前 1000 个自然数呢？卡住？不要，在数学中，使用了一些属性和相同的公式。

算术级数（AP）

它是在连续词之间具有相同差异的词序列。例如，考虑一个梯子，它的梯级按降序排列，即底部最大，顶部最小。如图所示，梯级的长度从底部开始为 (64, 60, 56, 52, 48, 44, 40) cm。

可以看出，所有术语都有一个-4的共同差异，因此它是一个AP。现在，

a ₂ = a + (1)(d) = 64 + (1)(-4)

a ₃ = a + 2d = 64 + (2)(-4) = 56

类似地，a _n (nth term) = a + (n-1)d

级数之和由下式给出， S _n = a + a ₂ + a ₃ +…+ a _n

= a + (a + d) + (a + 2d) +…+ (a + (n-1)d)

= $\frac{n}{2}[2a + (n-1) d]$

通过使用 AP，得到 sum 的性质，

Sum of first n natural numbers = 1+2+3+…+n = ∑ n   

In general terms summation is represented by  

Here ∑ is read as Sigma and it means summation.

It is an AP with 

a (first term) = 1

d (common difference) = 1

$S_{n} = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$S_{n} = \frac{n}{2}[2(1)+(n-1)(1)]$

$S_{n} = \frac{n}{2}(2+n-1)$

$S_{n} = \frac{n}{2}(n+1)$

$S_{n} = \frac{n}{2}[2(1)+(n-1)(1)]$

$\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$

类似地，通过使用二项式展开可以实现以下结果

Sum of squares of first n Natural numbers(N) $= \sum n^{2} = \left [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right ]$

Sum of cubes of first n Natural numbers(N)$= \sum n^{3} = \left [\frac{n(n+1)}{2} \right ]^{2}$

评估给定的总和： $\sum_{k=1}^{30}(4k^{2} - 100k)$

解决方案：

$\sum_{k=1}^{30}(4k^{2} - 100k) = ?$

$=> \sum_{k=1}^{30}(4k^{2}) - \sum_{k=1}^{30}(100k)$ 

$=> 4\sum_{k=1}^{30}(k^{2}) - 100\sum_{k=1}^{30}(k)$

$=> \left [\frac{4(30)(30+1)(2*30 +1)}{6} \right ]-\left [\frac{100(30)(30+1)}{2} \right ]$

=> 37820 – 46500

=> -8680

Step 1: In the first step, $\sum_{n = l}^{u} (a^{n}\pm b^{n}) = \sum_{n = l}^{u}a^{n} \pm \sum_{n= l}^{u}b^{n}$ property of addition where u is the upper limit and l represents the lower limit is used as :

$\left [(4*1^{2}-100) + (4*2^{2} - 100*2) + ... +(4*30^{2} - 100*30) \right ] = \left [(4*1^{2} + 4*2^{2} + ...+ 4*30^{2}) - (100*1 + 100*2 + ... + 100*30) \right ]$

Step 2: Constant values 4 and 100 are taken out as common respectively because

$\sum_{n=l}^{u}ca^{n} = c\sum_{n=l}^{u}a^{n}$

Step 3: In the 3rd step, results of sum of first n and squares of first n Natural Numbers are used and the value of k is put 30 because summation is ranging from 1-30 and then it is simply solved.

类似问题

问题 1：使用属性和公式计算给定的 sum ， $\sum_{k=1}^{13}(2k^{3} - 3k^{2} - 23)$

解决方案：

$\sum_{k=1}^{13}(2k^{3} - 3k^{2} - 23) = ?$

$=> \sum_{k=1}^{13}(2k^{3}) - \sum_{k=1}^{13}(3k^{2}) - \sum_{k=1}^{13}(23)$

$=> 2\sum_{k=1}^{13}(k^{3}) - 3\sum_{k=1}^{13}(k^{2}) - 23\sum_{k=1}^{13}(1)$

$=> 2\left [\frac{(13) (13+1)}{2} \right ]^{2} - \frac{3(13)(13+1)(2*13+1)}{6} - 23(13)$

=> 16562 – 2457 – 299

=> 13806  

问题2：使用属性和公式来评估给定的总和， $\sum_{k=0}^{10} \sum_{i=k+1}^{10}(k^{2}+3k+3)$

解决方案：

$\sum_{k=0}^{10} \sum_{i=k+1}^{10}(k^{2}+3k+3) = ?$

$=> \sum_{k=0}^{10}(k^{2}+3k+3)(10-k)$

$=> \sum_{k=0}^{10}(10k^{2}-k^{3}+30k-3k^{2}+30-3k)$

$=> \sum_{k=0}^{10}(-k^{3}+7k^{2}+27k+30)$

$=> -\left [\frac{(k)(k+1)}{2} \right ] ^{2} + \left [\frac{7(k)(k+1)(2k+1)}{6} \right ]+\frac{27k(k+1)}{2}+30k$

$=> -\left [\frac{(11)(12)}{2} \right ]^{2} + \frac{7(11)(12)(23)}{6}+\frac{27(11)(12)}{2}+30(11)$

=> -4356 + 3542 + 1782 + 330

=> 1298