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📜  静电势能

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:57:38.856000             🧑  作者: Mango

静电势能

电场中某个位置的电势是将单位正电荷从无穷远处传输到该点所需的努力量，而电势能是使电荷逆着电场移动所需的能量。单位质量置于引力场中某一位置的引力势能称为引力势能。从这个意义上说，电场中任何位置的单位正电荷的电势能等于该点存储在单位正电荷中的电势能。场中给定点的电势 V 由下式给出，

V = W/q

如果 W 是将单位正电荷 q 从无穷远处转移到场中特定点所做的功。这意味着电位是相对于某个参考点测量的，我们只能测量两点之间的电位差，类似于势能。标量是电势。伏特是一种测量单位，相当于焦耳每库仑 (J/C)。

势能差

考虑由于电荷排列而存在的静电场 E。为简单起见，考虑由放置在原点的电荷 Q 引起的场 E。考虑将测试电荷 q 从点 R 移动到点 P，同时抵抗电荷 Q 的排斥力。如果 Q 和 q 都为正或都为负，这将在参考时发生。让我们以 Q 为例，其中 q > 0。

一个试验电荷 q (> 0) 抵抗放置在原点的电荷 Q (> 0) 对它的排斥力从 R 点移动到 P 点

假设测试电荷 q 非常小，以至于它对原始配置没有影响，特别是原点处的电荷 Q（或者 Q 通过某种未知的力保持在原点处）。其次，当电荷 q 从 R 移动到 P 时，施加足够精确的外力 F ext以抵消电力排斥力 FE（即 F ext = -F E ）。这意味着当电荷 q 从 R 传输到 P 时，它没有受到净力或加速度，这意味着它以无限慢的恒定速度运输。在这种情况下，外力所做的功是减去电力所做的功的倒数，并且电荷q的势能被完全存储。如果当电荷到达 P 时外力撤消，则电力会将电荷从 Q 拉开——P 处存储的能量（势能）用于为电荷 q 提供动能，保持动能和潜在的能量。

因此，外力将电荷 q 从 R 移动到 P 所做的功可以写成：

W_{RP}=\int_{R}^{P} F_{ext}\cdot{dr}\\ W_{RP}=-\int_{R}^{P} F_{E}\cdot{dr}

上述表达式是对静电反作用力所做的功，并以势能形式存储。

带电荷 q 的粒子在电场中的每个位置都具有确定的静电势能，所做的功将其势能提高的量等于点 R 和 P 之间的势能差。因此，势能差可以是表示为，

ΔU = U P – U R = W RP

因此，对于任意电荷配置的电场，外力将电荷 q 从一个位置移动（不加速）到另一个位置所需的功可以定义为两点之间的电势能差。

这时候，要做好两个关键点，

  1. 静电场在将电荷从一个位置转移到另一个位置时所做的工作仅取决于初始点和最终点，并且不受用于到达那里的路径的影响。这是保守势力的定义属性。
  2. 上述表达式根据物理上有意义的工作量定义了势能的差异。在加性常数内，势能显然是不确定的。这表明势能的实际值没有物理意义；只有势能的变化是重要的。我们总是可以在任何时候给势能添加一个任意常数，因为势能差不会改变，

(U P – α ) – (U R – α ) = U P -U R

换句话说，可以随意选择势能为零的点。无穷远处的静电势能 0 是一个方便的选择。如果我们用这个选项取无穷远点 R，

W ∞P = U P – U ∞ = U P

上面的表达式定义了电荷 q 在任何时刻的势能。

静电势

一般来说，考虑任何静电荷配置。测试电荷的势能 q 是根据对它所做的功来定义的。这项功显然与 q 成正比，因为任何位置的力都是 qE，其中 E 是由于给定电荷排列而导致的该位置的电场。结果，将功除以电荷 q 得到一个与 q 无关的量。换句话说，每单位测试电荷所做的功代表了与电荷排列相关的电场。这导致了作为特定电荷排列结果的静电势 V 的概念。

W=V_P-V_R\\ W= \frac{U_P-U_R}{q}

其中，V P和 V R分别是 P 和 R 处的静电势。

换句话说，具有静电场的区域中任何位置的静电势 (V) 是将单位正电荷从无穷远处传输到该位置（没有加速）所需的功。电势能是一个标量，没有方向，只有大小。它用 V 表示，具有维数公式 ML 2 T -3 A -1 。

由于任何给定的电荷配置，静电场对测试电荷 q 所做的功与路径无关，仅取决于其初始位置和最终位置。

之前关于势能的相同警告也适用于势能的定义。要计算每单位测试电荷所做的功，从一个无穷小的测试电荷 δq 开始，计算将其从无穷大到该点所做的功 δw，然后除以 δq 以获得 δW/δq 比率。此外，在路径上的每一点，外力必须与作用在测试电荷上的静电力相等且相反。

点电荷的电势

将一个单位正测试电荷从无穷远处带到 P 点，抵抗电荷排斥力 Q (Q > 0) 所做的功是电荷 Q 在 P 处的电势。

看一下点电荷 Q 的起源。将 Q 视为一个正字符。我们希望使用来自原点的位置向量 r 在任何位置 P 找到势能。为此，我们需要计算出将一个单位正测试电荷从无穷远处转移到 P 点需要多少功。当 Q > 0 时，对测试电荷的排斥力所做的功为正。因为功与路径无关，所以我们选择一条方便的路径——沿径向从无穷远到 P 点。

在路径上某个中间点 P' 处单位正电荷上的静电力等于

\frac{Q\times1}{4\pi\epsilon_0r'^2}\hat{r'}

在哪里 \hat{r'} 是沿 OP' 的单位向量，因此，从 r' 到 r' + Δr' 对这个力所做的功可以写成

\Delta{W}=-\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r'^2}\Delta{r'}

负号表示 Δr′ < 0，ΔW 为正。外力所做的总功（W）是通过对上述方程两边积分来确定的，从 r' = ∞ 到 r' = r，

W=-\int_{∞}^{r} \frac{Q}{4\pi\epsilon_0r'^2}d{r'}\\ W=\left[\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r'}\right]_∞^r\\ W=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}

由于电荷 Q 在 P 处的电位可以表示为

V(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}

电荷系统的势能

由电荷系统引起的某一点的电位是单个电荷引起的电位的总和。

假设一个电荷系统 q 1 , q 2 ,…, q n具有相对于某个原点的位置向量 r 1 , r 2 ,…, rn。由于电荷 q 1在 P 处的电位 V 1可以表示为

V_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1}{r_{1P}}

其中 r 1P是 q 1和 P 之间的距离。

类似地，由于 q 2在 P 处的电位 V 2和由于 q 3引起的 V 3可以写为：

V_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_2}{r_{2P}}\\ V_3=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_3}{r_{3P}}

其中 r 2P和 r 3P分别是 P 与电荷 q 2和 q 3的距离；以此类推。根据叠加原理，由于总电荷配置，P 处的电位 V 是由于单个电荷引起的电位的代数和，即，

V = V1 + V2 + V3 +…… + Vn

上式可以表示为，

V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1}{r_{1P}}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_2}{r_{2P}}+ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_3}{r_{3P}}+.....+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_n}{r_{nP}}\\ V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q_1}{r_{1P}}+\frac{q_2}{r_{2P}}+\frac{q_3}{r_{3P}}+...+\frac{q_n}{r_{nP}}\right)

有必要将具有电荷密度 (r) 的连续电荷分布划分为大小为 Δv 的小体积元素，每个元素携带一个电荷 ρΔv。然后，对于每个体积元素，计算潜力并添加（或更准确地说，整合）所有这些贡献，以获得由于分布而产生的整体潜力。

示例问题

问题 1：假设您有一个 12.0 V 的摩托车电池，可以移动 5000 C 的电量，还有一个 12.0 V 的汽车电池，可以移动 60,000 C 的电量。每个人提供多少能量？

解决方案：

问题 2：一个质量为 40 mg 并带有 5×10 -9 C 电荷的粒子直接向一个大小为 10 -8 C 的固定正点电荷移动。当它距离该定点电荷 10 cm 时，它速度为 50 cm/s。在离定点电荷多远的地方，粒子会暂时静止？运动过程中加速度是否恒定？

解决方案：

问题 3：一个质量为 5 g、电荷为 10 -7 C 的球从电位为 500 V 的 A 点移动到电位为零的 B 点。球在 A 点的速度是多少，如果在 B 点，它是每秒 25 厘米？

解决方案：

问题 4：当 12.0 V 汽车电池运行一个 30.0 W 大灯时，每秒有多少电子通过它？

解决方案：

问题 5：为了将两个 3C 和 5C 量级的电荷从无限远的距离带到 0.5 m 的距离，需要做多少功？

解决方案：