所有子数组的最大值和最小值的绝对差之和

该主题主要讨论如何计算一个数组中所有子数组的最大值和最小值的绝对差之和。这个问题可以用动态规划算法来解决。

算法思路

状态定义

我们定义 $dp_{i,j}$ 表示从数组 $[i,j]$ 中所有子数组的最大值和最小值的绝对差之和。

状态转移方程

考虑如何处理 $dp_{i,j}$。我们可以先将 $[i,j]$ 中的每个数都视为单独的子数组，然后逐步将它们组合起来，得到更大的子数组，以此类推，直到获得 $[i,j]$ 中所有的子数组。

对于每个子数组 $[p,q]$，其最大值和最小值的差为 $\max_{k=p}^q a_k - \min_{k=p}^{q} a_k$。因此，我们可以将 $dp_{i,j}$ 划分成以下两部分：

• $dp_{i,j}^{(1)}=$ 所有子数组的最大值之和。

• $dp_{i,j}^{(2)}=$ 所有子数组的最小值之和。

我们可以将 $dp_{i,j}^{(1)}$ 和 $dp_{i,j}^{(2)}$ 分别计算出来，然后将它们相减即可得到 $dp_{i,j}$。具体地，

$$dp_{i,j}^{(1)}=\sum_{p=i}^{j} \max_{k=p}^{j} a_k$$

$$dp_{i,j}^{(2)}=\sum_{p=i}^{j} \min_{k=p}^{j} a_k$$

初始条件

显然，一个数字本身也可以看作一个区间，其最大值和最小值均为该数字本身。因此，我们可以将 $dp_{i,i}=0$ 初始化为 0。

最终结果

最终结果为 $dp_{1,n}$，其中 $n$ 为数组的总长度。

代码实现

def min_max_diff(arr):
    n = len(arr)
    dp_max = [[0] * n for _ in range(n)]  # 所有子数组的最大值之和
    dp_min = [[0] * n for _ in range(n)]  # 所有子数组的最小值之和
    for i in range(n):
        dp_max[i][i], dp_min[i][i] = arr[i], arr[i]  # 初始化
    for l in range(2, n+1):
        for i in range(n-l+1):
            j = i + l - 1
            dp_max[i][j] = max(dp_max[i][j-1], arr[j])
            dp_min[i][j] = min(dp_min[i][j-1], arr[j])
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            res += (dp_max[i][j] - dp_min[i][j])
    return res

时间和空间复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n^2)$。其中，空间复杂度可以通过滚动数组进行优化，但是时间复杂度无法优化。在极端情况下，当数组长度为 $10^4$ 时，该算法的时间复杂度将达到 $10^8$。因此，在实际使用时需要谨慎评估。