乘积为偶数的K长度子序列的计数

在计算机科学中，有时候需要计算一个序列中满足一定条件的子序列的数量。本文将介绍如何计算一个序列中乘积为偶数的K长度子序列的数量。

问题描述

给定一个长度为N的整数序列A，计算其中长度为K的子序列中，乘积为偶数的个数。

分析

要求子序列的乘积为偶数，那么其必须至少包含一个偶数。考虑到任意一个数，它与偶数相乘得到的结果都是偶数，因此在长度为K的子序列中选择若干个偶数与若干个奇数相乘，可以得到一个乘积为偶数的子序列。

下面分两种情况讨论：

1. K个数中包含至少一个偶数。此时偶数有两种选择：选或不选。任意选择若干个奇数，所得到的子序列中必定有偶数，因此奇数的选择个数为N/2。偶数的选择个数为C(N/2,1) + C(N/2,2) + ... + C(N/2,K-1)。其中C(N,M)表示从N个物品中选M个物品的组合数。因为组合数的计算是$O(K)$的，因此该情况的时间复杂度为$O(NK)$。

2. K个数中没有包含任何偶数。此时只能选择若干个奇数。由于奇数的个数为N/2，因此奇数的选择个数为C(N/2,K)。因为组合数的计算是$O(K)$的，因此该情况的时间复杂度为$O(NK)$。

总时间复杂度为$O(NK)$。

代码

def count_subsequences(A, K):
    even_count = sum(1 for a in A if a % 2 == 0)
    odd_count = len(A) - even_count
    result = 0
    for k in range(1, K + 1):
        if k % 2 == 1:
            result += comb(odd_count, k)
        else:
            for j in range(1, k):
                result += comb(even_count, j) * comb(odd_count, k - j)
            result += comb(even_count, k)
    return result

其中comb(n, m)表示从$n$个物品中选$m$个物品的组合数。