乘积为偶数的 K 长度子序列的计数

在这里我们需要解决的问题是：给定一个长度为 n 的正整数数组 nums 和一个整数 k，计算由 k 个元素构成的子序列中，乘积为偶数的子序列个数。

解法

我们可以通过动态规划的思路来解决这个问题。对于一个长度为 k 的子序列，我们可以分为两类：

1. 这个子序列的乘积为偶数
2. 这个子序列的乘积为奇数

对于第一类情况，我们只需要考虑最后一个元素是偶数还是奇数即可，具体来说，设 dp[i][j] 表示考虑前 i 个元素，选择 j 个元素，乘积为偶数的方案数，那么我们有如下转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j] (nums[i] 为奇数)  
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j] (nums[i] 为偶数)

对于第二类情况，我们只需要考虑最后一个元素是奇数即可，具体来说，设 dp[i][j] 表示考虑前 i 个元素，选择 j 个元素，乘积为奇数的方案数，那么我们有如下转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j] (nums[i] 为偶数)  
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j] (nums[i] 为奇数)

最终答案即为 dp[n][k]。

代码实现

以下是使用 Python 语言实现的代码，时间复杂度为 O(nk)：

def countSubsequences(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            if nums[i-1] % 2 == 0:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
    return dp[n][k]

代码片段已按 Markdown 标明。