ISRO CS 2009 - Problem 58

题目描述

有一个长度为$n$的整数数组$A$，我们将它从左到右分成两个数组$L$和$R$，满足$L$和$R$的长度都不为$0$。设$L$数组中所有元素的和为$Lsum$，$R$数组中所有元素的和为$Rsum$，问题是$Lsum = Rsum$的情况下求出$L$和$R$数组中$A$的最长公共连续子序列的长度。

例如，$A={1, 5, 2, 3, 4, 5, 3, 2, 1}$，则$L={1, 5, 2, 3}$，$R={4, 5, 3, 2, 1}$，它们都有相同的和$11$，同时$L$和$R$的最长公共连续子序列是$3$，即$[2,3,4]$。

输入格式

• 第1行：一个正整数$T$表示测试数据组数$(1\leq T\leq 200)$。
• 接下来有$T$组测试数据。
  • 每组测试数据开始是一个整数$n(2\leq n\leq 2500)$表示数组元素个数。
  • 接下来一行$n$个用空格分隔开的整数，表示数组$A$。

输出格式

对于每组测试数据，输出$Lsum = Rsum$时$L$和$R$的最长公共连续子序列的长度。

样例

输入样例

2
4
2 1 2 1
9
3 4 2 2 4 6 4 2 3

输出样例

1
2

题目分析

题目要求在$Lsum = Rsum$的情况下求出$L$和$R$数组中$A$的最长公共连续子序列的长度。

首先我们可以将问题简化为对于$L$和$R$数组的长度$i$和$j$（$1\leq i,j\leq n-1$），在满足$Lsum = Rsum$的前提下，求出$A$数组中前$i$个元素和前$j$个元素的最长公共连续子序列的长度。

可以发现上述问题与最长公共子序列问题有异曲同工之妙，我们只需要在求$A_{i}$和$A_{j}$的最长公共子序列时，加入$Lsum = Rsum$的限制即可。

实现上我们可以使用动态规划的方法求解最长公共子序列，然后在填表的时候加入$Lsum = Rsum$的限制即可。

下面是伪码：

for i in range(1, n-1):
    for j in range(1, n-1):
        # 求A前i个元素和前j个元素的最长公共子序列
        lcs = []
        # 初始化dp数组
        dp = [[0] * (j+1) for k in range(i+1)]
        for x in range(1, i+1):
            for y in range(1, j+1):
                if A[x-1] == A[y-1]:
                    dp[x][y] = dp[x-1][y-1] + 1
                else:
                    dp[x][y] = max(dp[x][y-1], dp[x-1][y])
        # 约束条件
        if sum(A[:i]) == sum(A[i:j]):
            lcs.append(dp[i][j])
print(max(lcs))

参考资料

• 最长公共子序列之动态规划求解