国际空间研究组织 | ISRO CS 2009 | 问题 1

问题描述

在一个无向图中，给定节点总数和每个节点的度数，判断图是否连通。

输入格式

第一行包含一个整数 $N$，表示节点的总数。

第二行包含 $N$ 个整数，表示每一个节点的度数。

输出格式

如果给定的图是连通的，输出字符串 Yes，否则输出字符串 No。

示例

输入样例：

4
1 2 2 3

输出样例：

Yes

解题思路

对于一个连通的无向图，节点数 $N$ 和边数 $E$ 之间有一个关系：$E \ge \frac{(N-1) \times N}{2}$。如果给定的图的边数小于这个数，那么它一定不连通。

由于每个节点的度数已知，所以对于每一个节点 $i$，它与其他节点之间相连的边数不能多于它的度数。因此，我们可以遍历每一个节点，计算出它与其他节点之间的边数之和 $edge$，并与它的度数 $deg_i$ 进行比较，如果 $edge$ 小于 $deg_i$，则说明该节点未能与所有节点相连，因此，退出循环，输出 No。

如果遍历完节点之后，没有退出循环，那么说明这个图是连通的，输出 Yes。

参考代码

n = int(input())  # 获取节点总数
degrees = list(map(int, input().split()))  # 获取每个节点的度数

edge_count = sum(degrees) // 2  # 计算边数
if edge_count < (n - 1) * n // 2:
    print("No")  # 边数太少，不是连通图
else:
    for i in range(n):
        edges = sum(degrees) - degrees[i]
        if edges < (n - 1):  # 该节点的边数不足，不是连通图
            print("No")
            break
    else:
        print("Yes")

简要说明：

1. 输入节点总数和每个节点的度数。
2. 根据每个节点的度数和图中节点数计算总边数，判断是否满足 $E \ge \frac{(N-1) \times N}{2}$，不满足则输出 No。
3. 遍历每一个节点，计算该节点与其他节点之间的边数之和，比较与该节点的度数的大小，如果小于该节点的度数，则输出 No，退出循环。如果全部节点都满足条件，则输出 Yes。