国际空间研究组织 | ISRO CS 2009 | 问题 39

这是一道涉及模拟的编程问题，主要涉及到矩阵的计算和操作。

问题描述

有一个由数字 0 和 1 组成的矩阵，其中 1 表示某个物体的一部分，0 表示其他部分，每个物体可能由多个 1 部分组成。现在，我们需要找到所有物体的数量，以及每个物体所包含的 1 的数量。

具体要求如下：

• 物体是指由 1 组成的连通块；
• 找到每个物体的数量，并输出每个物体所包含的 1 的数量。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 $T$，表示需要处理的测试用例的数量。

对于每个测试用例，第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$，表示矩阵的行数和列数。

接下来 $N$ 行，每行 $M$ 个整数，表示一个 $N\times M$ 的矩阵。矩阵中的元素可能为 0 或 1。

输出格式

对于每个测试用例，输出若干行，每行表示一个物体的信息，格式为：

area size

其中，area 表示物体的面积，即所包含的 1 的数量，size 表示物体的数量。

输出时，按照物体数量从小到大的顺序输出，如果数量相同，则按照面积从小到大的顺序排序。

样例输入

2
4 4
1 1 0 0
0 1 0 1
0 0 1 1
1 0 0 0
4 7
0 0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1 1

样例输出

2 1
2 2
3 1

代码实现

这个问题可以通过深度优先搜索（DFS）实现。具体来说，我们可以遍历矩阵，对于每个 1 开始进行 DFS 遍历，统计包含的面积，同时将经过的点标记为已处理。具体实现可以参考下面的代码：

# 解法一：深度优先搜索（DFS）
def dfs(i, j, matrix, visited):
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    if i < 0 or i >= n or j < 0 or j >= m or matrix[i][j] == 0 or visited[i][j]:
        # 已经越界，或者访问过了，或者当前点是 0
        return 0
    visited[i][j] = True
    return 1 + dfs(i - 1, j, matrix, visited) \
           + dfs(i + 1, j, matrix, visited) \
           + dfs(i, j - 1, matrix, visited) \
           + dfs(i, j + 1, matrix, visited)


def solve(matrix):
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    visited = [[False] * m for _ in range(n)]
    res = []
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if matrix[i][j] == 1 and not visited[i][j]:
                # 找到一个没被访问的物体，开始 DFS
                area = dfs(i, j, matrix, visited)
                res.append((area, 1))
    # 将物体按照面积大小排序，如果面积相同，按物体数量排序
    res.sort(key=lambda x: (x[1], x[0]))
    return res


if __name__ == '__main__':
    t = int(input().strip())
    for _ in range(t):
        n, m = map(int, input().strip().split())
        matrix = [list(map(int, input().strip().split())) for _ in range(n)]
        res = solve(matrix)
        for area, cnt in res:
            print(area, cnt)

代码解析：

首先，我们定义了一个 dfs 函数用于深度优先搜索。该函数的参数包括一个坐标 (i,j)、矩阵 matrix 和一个标记访问状态的二维数组 visited。函数返回 (i,j) 所在物体所包含的面积。

然后，我们定义了一个 solve 函数，用于解决本题。此函数的参数为一个矩阵 matrix，并返回一个列表，其中每个元素表示一个物体的信息，包括所包含的面积 area 和物体数量 cnt。函数内部实现了对矩阵中每个物体进行 DFS 的逻辑，并将遍历过的点标记为已处理状态。在主函数中，我们读入测试用例的数量 t，并循环处理每个测试用例。对于每个测试用例，我们先读入矩阵 matrix，然后调用 solve 函数求解。最后，我们将结果格式化输出即可。

该算法的时间复杂度为 $O(nm)$，空间复杂度为 $O(nm)$。