教资会网络 | UGC NET CS 2018 年 7 月 – II |问题 89

以下哪项是从 Z 到 Z 的所有函数的集合的等价关系？
(A) {(f, g) | f (x)−g (x) = 1 x ∈ Z}
(B) {(f, g) | f (0) = g (0) 或 f (1) = g (1)}
(C) {(f, g) | f (0) = g (1) 和 f (1) = g (0)}
(D) {(f, g) | f (x)−g (x) = k 对于一些 k ∈ Z }答案： (D)
解释： （A）这个关系没有这三个属性。它不是自反的，因为 f(x) – f(x) = 0 ≠ 1。它不是对称的，因为如果 j(x)- g(x) = 1，则 g(x)- f(x) = -1 ≠ 1。它不是传递的，因为如果 f(x)- g(x) = 1 且 g(x) – h(x) = 1，则 f(x) – h(x) = 2 ≠ 1 .

(B) 这不是等价关系，因为它不具有传递性。令 f(x) = 0, g(x) = x, h(x) = 1 对于所有 x E Z。然后 f 与 tog 有关，因为 f(0) = g(0)，g 与 h因为 g(1) = h(1)，但 f 与 h 无关，因为它们没有共同的值。通过检查，我们看到这种关系是自反的和对称的。

(C) 这种关系不是自反的，因为有很多函数 f（例如 f(x) = x）不具有 f(0) = f(1) 的性质。它通过检查是对称的（f和g的作用相同）。它不是传递的。例如，令 f(0) = g(1) = h(0) = 7，令 f(0) = g(0) = h(1) = 3；任意填写剩余值。那么 f 和 g 是相关的，g 和 h 也是如此，但 f 与 h 无关，因为 7 ≠ 3。

(D) 这是一个等价关系。如果两个函数相差一个常数，则它们在这里是相关的。它显然是自反的（常数为 0）。它是对称的，因为如果 f (x) – g(x) = k，则 g(x) – f (x) = -k。它是可传递的，因为如果 f(x) – g(x) = k1 和 g(x) – h(x) = k2 ，则 f(x) – h(x) = k3 ，其中 k3 = k1 + k2 (添加前两个方程）。

所以，选项（D）是正确的。

UGC 已从 Kenneth Rosen- 7th edition (Page-615, Ques-3, Chapter- 9.5 Equivalence Relations) 中提取了这个问题。
这个问题的测验