计算给定数组中按位异或小于 K 的对

问题描述

给定一个非空整数数组和一个整数 K，计算其中的按位异或小于 K 的非空对数。

解决方案

我们可以使用暴力枚举法来解决此问题，即对于每一对数字都进行异或计算，判断其是否小于 K。但是这种方法的时间复杂度为 O(n^2)，对于数据规模较大的情况会很慢。

一种更加高效的方法是通过计算异或的性质来解决。如果 a ^ b < K，那么对于任意的数字 c，都有 (a ^ c) ^ (b ^ c) = a ^ b ^ (c ^ c) = a ^ b。

因此，我们可以先计算数组中所有数字与 K 的异或值，然后对于每一个数，找到异或值小于 K 的数的个数。这个可以通过一个字典来实现。

解决方案实现

def count_xor_less_than_k(arr, k):
    xor_dict = {}
    for num in arr:
        xor_dict[num] = xor_dict.get(num, 0) + 1

    count = 0
    for num in xor_dict:
        for i in range(32):
            mask = 1 << i
            if k & mask:
                if num & mask:
                    count += xor_dict.get(num ^ mask, 0)
            else:
                count += xor_dict.get(num ^ mask, 0)

    return count // 2

解决方案解释

我们首先遍历数组 arr，统计每一个数字出现的次数。这里用到了字典的 get 方法，其中第一个参数是要获取的键值，第二个参数是当键值不存在时返回的默认值。这里将默认值设为 0，表示键值不存在时返回 0。

然后我们遍历字典中的每一个数字 num，然后遍历 0 到 31 中的每一个 bit 位。对于每一个 bit 位，我们在遍历时构造一个 mask 值，该值只有在该 bit 位为 1 时才为 1。

然后我们判断 K 在该 bit 位是否为 1。如果是，则我们需要找到 K 的异或值中该 bit 位为 0 的数字，使得 num 在这个 bit 位上异或上这个数字的值小于 K。这个可以通过异或运算和字典快速查找实现。如果 K 在该 bit 位上为 0，则我们只需要找到与 num 在该 bit 位上异或值为 1 的数字即可。这样统计出的 count 值需要除以 2，因为每对数字对统计了两次。

总结

这个问题可以通过异或的性质和字典的快速查找实现高效解决。如果要解决类似的问题，可以考虑计算各种运算符的性质来提高算法效率。