最长公共扩展 LCE | Set 1(介绍和朴素方法)

最长公共扩展(LCE)是计算两个字符串的最长公共前缀的问题。在这个问题中，我们有两个长度为n的字符串s和t。

在计算该问题时，朴素方法通常是通过遍历两个字符串来获得最长的公共前缀。其一般时间复杂度为O(n^2)。

算法描述

我们定义一个函数LCE(i,j)来计算以s[i]和t[j]为开头的字符串的最长公共前缀。如果s[i]和t[j]相等，则我们将LCE(i,j)增加1，并且继续比较后面的字符，即LCE(i+1,j+1)。否则，我们停止比较并返回LCE(i,j)。我们的目标是计算LCE(0,0)。

该算法的伪代码如下：

LCE(i,j)：
     if i >= len(s) or j >= len(t) :
         return 0
     if s[i] != t[j] :
         return 0
     return 1 + LCE(i+1, j+1)

时间复杂度

在最坏情况下，该算法需要比较所有的字符，因此它的时间复杂度为O(n^2)，其中n是输入字符串的长度。

优化

朴素方法中的一个很明显的优化是使用后缀数组。后缀数组可以在O(n)的时间内计算出LCP数组(最长公共前缀数组)，其中LCP[i]给出第i个和第i+1个后缀的最长公共前缀。这个优化的时间复杂度是O(n log n)，主要时间花费在后缀数组的构建上。

结论

通过朴素方法，我们可以计算出任意两个字符串的最长公共前缀。虽然时间复杂度高达O(n^2)，但它的计算方法直接，十分容易理解。在实践中，我们可以使用后缀数组优化算法的时间复杂度。无论使用哪种方法，最长公共前缀问题都是十分重要的，因为它是许多字符串算法的基础，如字符匹配、最长重复子串等。

代码实现

def LCE(s, t):
    i = 0
    j = 0
    L = 0
    while i < len(s) and j < len(t):
        if s[i] == t[j]:
            L += 1
            i += 1
            j += 1
        else:
            break
    return L

public static int LCE(String s, String t) {
    int i = 0;
    int j = 0;
    int L = 0;
    int len = Math.min(s.length(), t.length());
    while (i < len && j < len) {
        if (s.charAt(i) == t.charAt(j)) {
            L += 1;
            i += 1;
            j += 1;
        } else {
            break;
        }
    }
    return L;
}

以上代码分别是Python和Java的实现。