LCS 问题陈述：给定两个序列，找出它们中存在的最长子序列的长度。子序列是以相同的相对顺序出现的序列，但不一定是连续的。例如，“abc”、“abg”、“bdf”、“aeg”、’”acefg”等都是“abcdefg”的子序列。所以一个长度为 n 的字符串有 2^n 个不同的可能子序列。
它是一个经典的计算机科学问题，是 diff(输出两个文件之间差异的文件比较程序)的基础，在生物信息学中有应用。
例子：
输入序列“ABCDGH”和“AEDFHR”的 LCS 是长度为 3 的“ADH”。
输入序列“AGGTAB”和“GXTXAYB”的 LCS 是长度为 4 的“GTAB”。
设输入序列分别为长度为 m 和 n 的 X[0..m-1] 和 Y[0..n-1]。并令 L(X[0..m-1], Y[0..n-1]) 为两个序列 X 和 Y 的 LCS 的长度。以下是 L(X[0..n-1]) 的递归定义。 m-1], Y[0..n-1])。
如果两个序列的最后一个字符匹配(或 X[m-1] == Y[n-1])，则
L(X[0..m-1], Y[0..n-1]) = 1 + L(X[0..m-2], Y[0..n-2])
如果两个序列的最后一个字符不匹配(或 X[m-1] != Y[n-1])，则
L(X[0..m-1], Y[0..n-1]) = MAX ( L(X[0..m-2], Y[0..n-1]), L( X[0..m-1], Y[0..n-2])
/* A Naive recursive implementation of LCS problem */
#include
int max(int a, int b);
/* Returns length of LCS for X[0..m-1], Y[0..n-1] */
int lcs(char* X, char* Y, int m, int n)
{
if (m == 0 || n == 0)
return 0;
if (X[m - 1] == Y[n - 1])
return 1 + lcs(X, Y, m - 1, n - 1);
else
return max(lcs(X, Y, m, n - 1), lcs(X, Y, m - 1, n));
}
/* Utility function to get max of 2 integers */
int max(int a, int b)
{
return (a > b) ? a : b;
}
/* Driver program to test above function */
int main()
{
char X[] = "AGGTAB";
char Y[] = "GXTXAYB";
int m = strlen(X);
int n = strlen(Y);
printf("Length of LCS is %d\n", lcs(X, Y, m, n));
return 0;
}
输出：
Length of LCS is 4
以下是 LCS 问题的列表实现。
/* Dynamic Programming C/C++ implementation of LCS problem */
#include
int max(int a, int b);
/* Returns length of LCS for X[0..m-1], Y[0..n-1] */
int lcs(char* X, char* Y, int m, int n)
{
int L[m + 1][n + 1];
int i, j;
/* Following steps build L[m+1][n+1] in bottom up fashion. Note
that L[i][j] contains length of LCS of X[0..i-1] and Y[0..j-1] */
for (i = 0; i <= m; i++) {
for (j = 0; j <= n; j++) {
if (i == 0 || j == 0)
L[i][j] = 0;
else if (X[i - 1] == Y[j - 1])
L[i][j] = L[i - 1][j - 1] + 1;
else
L[i][j] = max(L[i - 1][j], L[i][j - 1]);
}
}
/* L[m][n] contains length of LCS for X[0..n-1] and Y[0..m-1] */
return L[m][n];
}
/* Utility function to get max of 2 integers */
int max(int a, int b)
{
return (a > b) ? a : b;
}
/* Driver program to test above function */
int main()
{
char X[] = "AGGTAB";
char Y[] = "GXTXAYB";
int m = strlen(X);
int n = strlen(Y);
printf("Length of LCS is %d\n", lcs(X, Y, m, n));
return 0;
}
输出：
Length of LCS is 4
请参阅关于动态规划的完整文章 |设置 4(最长公共子序列)了解更多详情！
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