最长公共序列(LCS)

给定序列的子序列就是给定序列，其中遗漏了一些元素。

给定两个序列X和Y，如果Z是X和Y的子序列，我们说序列Z是X和Y的公共序列。

在最长的公共子序列问题中，我们给定两个序列X =(x ₁ x ₂ …. x _m )和Y =(y ₁ y ₂ y _n )，并希望找到X和Y的最大长度公共子序列。LCS问题可以使用动态编程解决。

最长公共序列的特征

蛮力方法我们找到X的所有子序列，并检查每个子序列是否也是Y的子序列，这种方法需要指数时间，因此对于长序列来说是不切实际的。

给定序列X =(x ₁ x ₂ ….. x _m )，我们将i = 0、1和2 … m的X的第i个前缀定义为X _i =(x ₁ x ₂ … ..x _i )。例如：如果X =(A，B，C，B，C，A，B，C)，则X ₄ =(A，B，C，B)

LCS的最佳子结构：令X =(x ₁ x ₂ …. x _m )和Y =(y ₁ y ₂ …..)y _n )为序列，令Z =(z ₁ z ₂ …… z _k )是X和Y的任何LCS。

• 如果x _m = y _n ，则z _k = x_m = y _n，并且Z _k-1是X _m-1和Y _n-1的LCS
• 如果x _m ≠y _n ，则z _k ≠x _m表示Z是X _m-1和Y的LCS。
• 如果x _m ≠y _n ，则z _k ≠y _n表示Z是X和Y _n-1的LCS

步骤2：递归解决方案： LCS具有重叠的子问题属性，因为要找到X和Y的LCS，我们可能需要找到X _m-1和Y _n-1的LCS。如果x _m ≠y _n ，那么我们必须解决两个子问题，找到X和Y _n-1的LCS。只要这些LCS中较长的一个是x和y的LCS。但是这些子问题中的每一个都有找到X _m-1和Y _n-1的LCS的子问题。

令c [i，j]为序列X _i和Y _j的LCS的长度。如果i = 0和j = 0，则其中一个序列的长度为0，因此LCS的长度为0。给出递归公式的LCS问题

步骤3：计算LCS的长度：让两个序列X =(x ₁ x ₂ ….. x _m )和Y =(y ₁ y ₂ ….. y _n )作为输入。它将c [i，j]值存储在表c [0 …… m，0 ………. n]中。表b [1 ……… ..m，1 ………. n]可以帮助我们构建最佳解决方案。 c [m，n]包含X，Y的LCS的长度。