必要条件

定理

考虑问题-$ min f \ left(x \ right)$使得$ x \ in X $其中X是$ \ mathbb {R} ^ n $中的一个开放集，并让$ g_i \ left(x \ right) \ leq 0，\ forall i = 1,2，…. m $。

设$ f：X \ rightarrow \ mathbb {R} $和$ g_i：X \ rightarrow \ mathbb {R} $

假设$ \ hat {x} $是一个可行的解决方案，令f和$ g_i，i \ in I $在$ \ hat {x} $和$ g_i，i \ in J $中是可微的，在$ \ hat { x} $。

如果$ \ hat {x} $在本地解决了上述问题，则存在$ u_0，u_i \ in \ mathbb {R}，i \ in I $这样$ u_0 \ bigtriangledown f \ left(\ hat {x} \ right)+ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i \ in I} u_i \ bigtriangledown g_i \ left(\ hat {x} \ right)$ = 0

其中$ u_0，u_i \ geq 0，i \ in I $和$ \ left(u_0，u_I \ right)\ neq \ left(0,0 \ right)$

此外，如果$ g_i，i \ in J $在$ \ hat {x} $处也是可微的，则上述条件可以写成-

$ u_0 \ bigtriangledown f \ left(\ hat {x} \ right)+ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m u_i \ bigtriangledown g_i \ left(\ hat {x} \ right)= 0 $

$ u_ig_i \ left(\ hat {x} \ right)$ = 0

$ u_0，u_i \ geq 0，\ forall i = 1,2，….，m $

$ \ left(u_0，u \ right)\ neq \ left(0,0 \ right)，u = \ left(u_1，u_2，s，u_m \ right)\ in \ mathbb {R} ^ m $

备注

• $ u_i $被称为拉格朗日乘数。

• $ \ hat {x} $对给定问题可行的条件称为原始可行条件。

• 要求$ u_0 \ bigtriangledown f \ left(\ hat {x} \ right)+ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m ui \ bigtriangledown g_i \ left(x \ right)= 0 $被称为对偶可行性健康)状况。

• 条件$ u_ig_i \ left(\ hat {x} \ right)= 0，i = 1，2，… m $被称为互补松弛条件。此条件需要$ u_i = 0，i \ in J $

• 原始可行条件，双重可行条件和互补松弛一起被称为Fritz-John条件。

充分条件

定理

如果存在$ \ hat {x} N_ \ varepsilon \ left(\ hat {x} \ right)的$ \ varepsilon $邻域，\ varepsilon> 0 $，使得f是$ N_ \ varepsilon \ left( \ hat {x} \ right} \ cap S $和$ g_i，i \ in I $在$ N_ \ varepsilon \ left(\ hat {x} \ right)\ cap S $，然后$ \ hat { x} $是上述问题的局部最优解。如果f在$ \ hat {x} $处是伪凸的，而$ g_i，则i \ in I $在$ \ hat {x}处都是严格的伪凸和拟凸的函数，\ hat {x} $是问题的全局最优解如上所述。

例

• $ min \：f \ left(x_1，x_2 \ right)= \ left(x_1-3 \ right)^ 2 + \ left(x_2-2 \ right)^ 2 $

  这样$ x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 5，x_1 + 2x_2 \ leq 4，x_1，x_2 \ geq 0 $和$ \ hat {x} = \ left(2 ，1 \ right)$

  设$ g_1 \ left(x_1，x_2 \ right)= x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -5，$

  $ g_2 \ left(x_1，x_2 \ right)= x_1 + 2x_2-4，$

  $ g_3 \ left(x_1，x_2 \ right)=-x_1 $和$ g_4 \ left(x_1，x_2 \ right)= -x_2 $。

  因此上述约束可以写成-

  $ g_1 \ left(x_1，x_2 \ right)\ leq 0，$

  $ g_2 \ left(x_1，x_2 \ right)\ leq 0，$

  $ g_3 \ left(x_1，x_2 \ right)\ leq 0 $和

  $ g_4 \ left(x_1，x_2 \ right)\ leq 0 $因此，$ I = \ left \ {1,2 \ right \} $因此，$ u_3 = 0，u_4 = 0 $

  $ \ bigtriangledown f \ left(\ hat {x} \ right)= \ left(2，-2 \ right)，\ bigtriangledown g_1 \ left(\ hat {x} \ right)= \ left(4,2 \ right )$和$ \ bigtriangledown g_2 \ left(\ hat {x} \ right)= \ left(1,2 \ right)$

  因此，将这些值置于Fritz-John条件的第一个条件中，我们得到-

  $ u_0 = \ frac {3} {2} u_2，\：\：u_1 = \ frac {1} {2} u_2，$并让$ u_2 = 1 $，因此$ u_0 = \ frac {3} {2} ，\：\：u_1 = \ frac {1} {2} $

  这样就满足了弗里茨·约翰的条件。

• $ min f \ left(x_1，x_2 \ right)=-x_1 $。

  这样$ x_2- \ left(1-x_1 \ right)^ 3 \ leq 0 $，

  $ -x_2 \ leq 0 $和$ \ hat {x} = \ left(1,0 \ right)$

  令$ g_1 \ left(x_1，x_2 \ right)= x_2- \ left(1-x_1 \ right)^ 3 $，

  $ g_2 \ left(x_1，x_2 \ right)=-x_2 $

  因此上述约束可以写成-

  $ g_1 \ left(x_1，x_2 \ right)\ leq 0，$

  $ g_2 \ left(x_1，x_2 \ right)\ leq 0，$

  因此，$ I = \ left \ {1,2 \ right \} $

  $ \ bigtriangledown f \ left(\ hat {x} \ right)= \ left(-1,0 \ right)$

  $ \ bigtriangledown g_1 \ left(\ hat {x} \ right)= \ left(0,1 \ right)$和$ g_2 \ left(\ hat {x} \ right)= \ left(0，-1 \ right )$

  因此，将这些值置于Fritz-John条件的第一个条件中，我们得到-

  $ u_0 = 0，\：\：u_1 = u_2 = a> 0 $

  这样就满足了弗里茨·约翰的条件。