在本章中，我们将讨论流体方程以及它如何告诉我们有关随时间变化的宇宙密度。

估计_ρc和ρ在现在的宇宙

对于当前的宇宙-

$$ \ rho_c \ simeq 10 ^ {11} M_ \ odot M_ {pc} ^ {-3} \ simeq 10 \：氢\：原子\：m ^ {-3} $$

在我们的外层空间中，存在着整个临界密度范围。像，对于星际介质$ \ rho_c $是1个氢原子$ m ^ {-3} $，而对于分子云，它是$ 10 ^ 6 $氢原子$ m ^ {-3} $。

我们必须考虑适当的空间样本来测量$ \ rho_c $。在我们的银河系中，$ \ rho_c $的值非常高，但是我们的银河系并不代表整个宇宙。因此，我们应该走出宇宙学原理所在的空间，即距离≈300 Mpc。观测300 Mpc意味着回顾十亿年前，但这仍然是当前的宇宙。

进行SDSS之类的调查来确定实际物质密度。他们采用5×500×5 Mpc ^3的体积，计算星系的数量，并添加所有来自这些星系的光。假设1 L≡1 M，即1太阳光度≡1太阳质量。

我们进行了光到质量的转换，然后尝试根据该体积中存在的可见物质粒子估算重子的数量。

例如，

$$ 1000L_ \ odot≡1000M_ \ odot / m_p $$

其中，m _p =质子质量。

然后我们大致得到重子数密度$ \ Omega b〜= 0.025 $。这意味着$ \ rho b = $ \ rho_c $的0.25％$。不同的调查得出的值略有不同。因此，在局部宇宙中，可见物质的数量密度远小于临界密度，这意味着我们生活在一个开放的宇宙中。

这些调查中不包括因子为10的质量，因为这些调查是针对电磁辐射的，而不是暗物质的。给定$ \ Omega_m = 0.3 − 0.4 $。仍然得出结论，我们生活在一个开放的宇宙中。

暗物质与重力相互作用。许多暗物质可以阻止膨胀。我们尚未形式化$ \ rho $随时间变化的方式，为此我们需要另一组方程。

热力学指出-

$$ dQ = dU + dW $$

对于尺寸不断增长的系统，$ dW = P dV $。宇宙的膨胀被建模为绝热的，即$ dQ = 0 $。因此，体积变化应由内部能量dU的变化引起。

让我们以单位移动半径的一定体积的宇宙为例，即$ r_c = 1 $。如果$ \ rho $是该空间中的材料密度，则，

$$ M = \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3r_c ^ 3 \ rho $$

$$ U = \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3 \ rho c ^ 2 $$

其中， U是能量密度。让我们找出随着宇宙膨胀内部能量随时间的变化。

$$ \ frac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} t} = 4 \ pi a ^ 2 \ rho c ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} + \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3 c ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t} $$

同样，音量随时间的变化由下式给出：

$$ \ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} t} = 4 \ pi a ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} $$$

替换$ dU = -P dV $。我们得到

$$ 4 \ pi a ^ 2(c ^ 2 \ rho + P)\ dot {a} + \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3c ^ 2 \ dot {\ rho} = 0 $$

$$ \ dot {\ rho} +3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left(\ rho + \ frac {P} {c ^ 2} \ right)= 0 $$

这称为流体方程。它告诉我们宇宙的密度如何随时间变化。

压力随着宇宙的膨胀而下降。在每个瞬间压力都在变化，但是所考虑的体积中两点之间没有压力差，因此压力梯度为零。只有相对论的物质才会施加压力，而物质是无压力的。

弗里德曼方程与流体方程一起对宇宙进行建模。

要记住的要点

• 暗物质与重力相互作用。许多暗物质可以阻止膨胀。

• 流体方程告诉我们宇宙的密度如何随时间变化。

• 弗里德曼方程与流体方程一起对宇宙进行建模。

• 只有相对论的物质才会施加压力，而物质是无压力的。