优化是使诸如设计，情况，资源和系统之类的东西尽可能有效的一种动作。利用成本函数和能量函数之间的相似性，我们可以使用高度互连的神经元来解决优化问题。这种神经网络是Hopfield网络，它由包含一个或多个完全连接的循环神经元的单层组成。这可以用于优化。

使用Hopfield网络进行优化时要记住的要点-

• 能量函数必须是网络的最小值。

• 它将找到令人满意的解决方案，而不是从存储的模式中选择一种。

• Hopfield网络找到的解决方案的质量在很大程度上取决于网络的初始状态。

旅行商问题

查找销售员所走的最短路线是计算问题之一，可以使用Hopfield神经网络对其进行优化。

TSP的基本概念

旅行推销员问题(TSP)是经典的优化问题，其中推销员必须旅行n个相互连接的城市，同时使成本和行进距离保持最小。例如，推销员必须旅行一组4个城市A，B，C，D，目标是找到最短的环游ABC–D，以最大程度地降低成本，其中还包括从最后一个城市D到第一个城市A。

矩阵表示

实际上，n市TSP的每次游览都可以表示为n × n矩阵，其_第i行描述了_第i_个城市的位置。四个城市A，B，C，D的矩阵M可以表示如下：

$$ M = \ begin {bmatrix} A：＆1＆0＆0＆0 \\ B：＆0＆1＆0＆0 \\ C：＆0＆0＆1＆0 \\ D：＆0＆ 0＆0＆1 \ end {bmatrix} $$

Hopfield Network解决方案

在考虑Hopfield网络对该TSP的解决方案时，网络中的每个节点都对应于矩阵中的一个元素。

能量函数计算

要成为优化的解决方案，能量函数必须最小。基于以下约束，我们可以计算出如下的能量函数：

约束一

我们基于其计算能量函数的第一个约束是，矩阵M的每一行中一个元素必须等于1，而每一行中的其他元素必须等于0，因为每个城市只能出现在矩阵的一个位置上。 TSP游览。这个约束在数学上可以写成如下-

$$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ n M_ {x，j} \：= \：1 \：for \：x \：\ in \：\ lbrace1，…，n \ rbrace $ $

现在，基于上述约束，要最小化的能量函数将包含与-成比例的项

$$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {x = 1} ^ n \ left(\ begin {array} {c} 1 \：-\：\ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ n M_ {x，j } \ end {array} \ right)^ 2 $$

约束II

众所周知，在TSP中，一个城市可以出现在游览中的任何位置，因此，在矩阵M的每一列中，一个元素必须等于1，其他元素必须等于0。该约束条件可以用数学公式编写如下：

$$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {x = 1} ^ n M_ {x，j} \：= \：1 \：for \：j \：\ in \：\ lbrace1，…，n \ rbrace $ $

现在，基于上述约束，要最小化的能量函数将包含与-成比例的项

$$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ n \ left(\ begin {array} {c} 1 \：-\：\ displaystyle \ sum \ limits_ {x = 1} ^ n M_ {x，j } \ end {array} \ right)^ 2 $$

成本函数计算

假设用C表示的( n×n )平方矩阵表示n> 0的n个城市的TSP成本矩阵。以下是计算成本函数的一些参数-

• C _x，y-成本矩阵的元素表示从城市x到y的旅行成本。

• A和B的元素的邻接可以通过以下关系式表示-

$$ M_ {x，i} \：= \：1 \：\：和\：\：M_ {y，i \ pm 1} \：= \：1 $$

众所周知，在Matrix中，每个节点的输出值可以为0或1，因此对于每对城市A，B，我们可以将以下项添加到能量函数-

$$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n C_ {x，y} M_ {x，i}(M_ {y，i + 1} \：+ \：M_ {y，i-1}) $$

基于上述成本函数和约束值，最终能量函数E可以如下所示：

$$ E \：= \：\ frac {1} {2} \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ displaystyle \ sum \ limits_ {x} \ displaystyle \ sum \ limits_ {y \ neq x} C_ {x，y} M_ {x，i}(M_ {y，i + 1} \：+ \：M_ {y，i-1})\：+ $$

$$ \：\ begin {bmatrix} \ gamma_ {1} \ displaystyle \ sum \ limits_ {x} \ left(\ begin {array} {c} 1 \：-\：\ displaystyle \ sum \ limits_ {i} M_ {x，i} \ end {array} \ right)^ 2 \：+ \：\ gamma_ {2} \ displaystyle \ sum \ limits_ {i} \ left(\ begin {array} {c} 1 \：-\\ ：\ displaystyle \ sum \ limits_ {x} M_ {x，i} \ end {array} \ right)^ 2 \ end {bmatrix} $$

在此_，γ1和_γ2是两个称重常数。