数据结构|堆叠问题6

在计算机科学中，堆（heap）是一种抽象数据类型，它是一种特殊的树形数据结构。它常常被应用在算法中，例如堆排序以及图形中的最小生成树算法。

堆的特征是根节点的键值最大或最小，在堆中根节点总是最值。堆可以分为最大堆和最小堆。最大堆的根节点是最大值，最小堆的根节点是最小值。

堆通常是由数组实现的。在数组表示的堆中，如果一个结点的下标为i，则它的父节点、左子节点和右子节点的下标分别为（i - 1）/ 2、2 * i + 1 和 2 * i + 2。

下面给出一个Python实现的最大堆，其中包括堆的初始化、插入、删除以及堆排序等操作：

class Heap:
    def __init__(self, items=[]):
        super().__init__()
        self.heap = [0]
        for item in items:
            self.heap.append(item)
            self.__float_up(len(self.heap) - 1)

    def push(self, item):
        self.heap.append(item)
        self.__float_up(len(self.heap) - 1)

    def pop(self):
        if len(self.heap) > 2:
            self.__swap(1, len(self.heap) - 1)
            max_item = self.heap.pop()
            self.__bubble_down(1)
        elif len(self.heap) == 2:
            max_item = self.heap.pop()
        else:
            max_item = False
        return max_item

    def sort(self):
        result = []
        while True:
            item = self.pop()
            if item:
                result.append(item)
            else:
                break
        return result

    def __swap(self, i, j):
        self.heap[i], self.heap[j] = self.heap[j], self.heap[i]

    def __float_up(self, index):
        parent_index = index // 2
        if parent_index <= 0:
            return
        elif self.heap[parent_index] < self.heap[index]:
            self.__swap(parent_index, index)
            self.__float_up(parent_index)

    def __bubble_down(self, index):
        child_index = self.__get_bigger_child_index(index)
        if child_index == -1:
            return
        elif self.heap[child_index] > self.heap[index]:
            self.__swap(child_index, index)
            self.__bubble_down(child_index)

    def __get_bigger_child_index(self, index):
        left_child_index = index * 2
        right_child_index = index * 2 + 1

        if left_child_index >= len(self.heap):
            return -1
        elif right_child_index >= len(self.heap):
            return left_child_index
        elif self.heap[left_child_index] > self.heap[right_child_index]:
            return left_child_index
        else:
            return right_child_index

可以看到，这个最大堆的实现方法很简单。堆的插入操作可以通过将元素插入到最后再执行__float_up操作完成。而堆排序操作又可以通过pop操作，每次弹出（删除）堆中的最大元素并将其添加到结果列表中。

同时，堆也可以应用于解决一些具体的问题，例如堆叠问题。堆叠问题是指对一堆数据进行堆化操作，使其满足一些特定的要求，常常应用于优先队列等场景中。下面是一个应用堆的例子：

假设有一个长度为n的数组arr，现在要用前m小的数来凑成一个数s，那么可以利用堆求出前m小的数。同时，也可以通过重新排序完成前m小的数。

def find_min_m_sum(arr, m, s):
    heap = Heap()
    for item in arr:
        heap.push(-item)
        if len(heap.heap) > m + 1:
            heap.pop()

    if len(heap.heap) <= 1:
        return []

    min_items = [-i for i in heap.sort()[1:]]
    if sum(min_items) < s:
        return []

    result = []
    for item in min_items:
        if sum(result) + item <= s:
            result.append(item)
        else:
            break
    return result

上述代码中，find_min_m_sum函数通过弹出前m小的数来筛选出最小的m个数。最后，将前m小的数累加起来，然后与给定的s进行比较，返回满足要求的子序列。

堆是一种非常重要的数据结构，在日常的开发过程中经常会被用到。学习和掌握堆的相关知识和应用，将会为你的开发工作带来很大的帮助。