连接所有城市的最低成本

1. 问题描述

有N个城市，编号为0~N-1，它们之间的道路以及每条道路的建造成本都已知。现在需要建造一些道路，将所有的城市连接起来，并且要求建造的总成本最小。求解最小成本。

2. 解决方案

这是一个典型的最小生成树问题。可以使用Prim或Kruskal算法进行求解。

• Prim算法

Prim算法是一种贪心算法，从起点开始，每次选择与已经加入集合的节点距离最近的一个节点并将其加入集合，直到所有的节点都加入其中。

算法流程：

1. 选定起点，将其加入选择的集合中，同时将所有从该点出发的边加入优先队列中（以边权为权重）。

2. 从队列中选择权重最小的边对应的节点，如果该节点已经加入选择的集合中，则将其舍弃。

3. 将该节点加入选择的集合中，并将其所有未加入选择的集合中的边加入优先队列中。

4. 重复步骤2-3，直到所有节点都加入选择的集合中。

5. 最终选择的集合中所有边的权重之和即为最小生成树的成本。

• Kruskal算法

Kruskal算法同样是一种贪心算法，它不从起点开始，而是将所有的边按照权重排序，然后从小到大加入集合中，如果加入后形成了环，则舍弃该边。

算法流程：

1. 将所有的边按照权重从小到大排序。

2. 依次选取权重最小的边，如果该边连接的两个节点不在同一个集合中，则将两个集合合并。

3. 重复步骤2，直到所有的节点都在同一个集合中。

4. 最终选择的集合中所有边的权重之和即为最小生成树的成本。

3. 代码实现

• Prim算法

import heapq

def prim(edges):
    # 初始化，选择0作为起点
    queue = [(0, 0)] 
    visited = set()
    min_cost = 0

    while queue:
        cost, node = heapq.heappop(queue)

        # 如果当前点已经被访问过，则跳过
        if node in visited:
            continue

        # 将当前节点加入已选节点集合中
        visited.add(node)
        min_cost += cost

        # 将未加入集合中的相邻边加入优先队列
        for to_node, to_cost in edges[node]:
            if to_node not in visited:
                heapq.heappush(queue, (to_cost, to_node))

    return min_cost

该实现使用了heapq模块，它实现了对优先队列的支持。

• Kruskal算法

def find(index, parents):
    if parents[index] == index:
        return index
    else:
        return find(parents[index], parents)

def union(x, y, parents, ranks):
    root_x = find(x, parents)
    root_y = find(y, parents)
    if root_x == root_y:
        return False
    else:
        if ranks[root_x] < ranks[root_y]:
            parents[root_x] = root_y
        elif ranks[root_x] > ranks[root_y]:
            parents[root_y] = root_x
        else:
            parents[root_y] = root_x
            ranks[root_x] += 1
        return True

def kruskal(edges, n):
    # 初始化，将每个节点看成一个集合
    parents = [i for i in range(n)]
    ranks = [0 for i in range(n)]
    edges.sort(key=lambda x: x[2])

    # 依次选择权重最小的边，并将其加入集合
    min_cost = 0
    for edge in edges:
        if union(edge[0], edge[1], parents, ranks):
            min_cost += edge[2]

    return min_cost

该实现使用了并查集。