半圆可内接的最大圆面积

在给定半圆中，找到可以被半圆正好内接的最大圆的面积。这是一个有趣的问题，也有许多实际应用，比如在航空工业中优化机翼设计。下面介绍一种算法实现。

算法概述

我们将半圆看成一个 $180$ 度的弧，利用弧度制取 $0$ 至 $\pi$ 之间的值（即半圆的下半部分）。我们以在 $x$ 轴上的圆心为原点建立平面直角坐标系，将弧的起点记为 $(0,0)$，弧的中点记为 $(0,r)$，圆的半径为 $r$。

我们要在半圆中找到可以被正好内接的最大圆，所以我们只需要在圆中找到可以被圆正好内接的最大圆。并且，圆心必须位于圆的上半部分。

假设圆的半径为 $s$，圆心的坐标为 $(0, a)$，其中 $0 < a < r-s$。根据勾股定理，可以得到圆心到圆的切点的距离为 $\sqrt{r^2 - a^2}$。圆的面积为 $\pi s^2$，可以表示为 $s^2 \pi = (r - \sqrt{r^2 - a^2})^2 \pi$。那么我们就可以将问题转化为在区间 $[0, r-s]$ 中找到使得 $s^2 \pi$ 最大的 $a$。

我们可以使用二分查找算法在该区间上查找最大的 $a$，其时间复杂度为 $O(\log n)$。

代码实现

下面是使用 Python 语言实现的代码片段（仅供参考，具体实现方式可能因语言而异）。

import math

def maxCircleArea(r):
    low, high = 0, r
    eps = 1e-9
    while low + eps < high:
        mid = (low + high) / 2
        if mid + math.sqrt(r * r - mid * mid) > r:
            high = mid
        else:
            low = mid
    s = math.sqrt(r * r - low * low)
    return s * s * math.pi

总结

在半圆中找到可以被正好内接的最大圆的面积，可以通过在圆中找到可以被圆正好内接的最大圆来实现。使用二分查找算法可以在 $O(\log n)$ 的时间内找到最大的半径，最大圆的面积为 $s^2 \pi$。