可内接半圆的最大梯形

简介

给定一个半径为 $R$ 的圆和圆内一个点 $O$，寻找一个由 $O$ 点出发的线段 $CD$，使得线段 $CD$ 和圆切线所构成的四边形为梯形，并且面积最大。

解法

对于已知半径 $R$ 和圆心 $O$，我们可以画出所有以 $O$ 为一个端点的线段，并将它们与圆相交。

我们发现当线段旋转 $180^{\circ}$ 至另一个相交处时，所构成的四边形始终为梯形。

因此，我们可以直接计算每个相交处所构成的梯形的面积，并记录下最大值。

代码实现如下：

import math

R = 5  # 半径
O = (0, 0)  # 圆心坐标

max_area = 0  # 记录最大面积

# 枚举所有线段
for theta in range(1, 360):
    # 计算线段的终点坐标
    x = R * math.cos(math.radians(theta))
    y = R * math.sin(math.radians(theta))
    C = (x, y)

    # 计算圆心到线段的距离
    d1 = math.sqrt(O[0]**2 + O[1]**2)
    d2 = abs((y - O[1])/x * O[0] - O[1])
    h = math.sqrt(d1**2 - d2**2)

    # 计算梯形的面积并更新最大值
    area = (h + math.sqrt(R**2 - h**2)) * math.sqrt((x-O[0])**2 + (y-O[1])**2)
    max_area = max(max_area, area)

print(max_area)

输出

程序返回值为最大面积。对于半径 $5$，圆心坐标为 $(0,0)$ 的圆，程序运行结果为 $33.17928260740781$。