使用 MO 算法对子数组中的阿姆斯特朗数进行范围查询

简介

MO 算法是一种经典的离线算法，用于解决子数组查询问题。这种算法的主要思想是将查询离线下来，然后按照特定的顺序处理所有的询问，从而达到优化的查询效率。在本文中，我们将介绍如何使用 MO 算法对子数组中的阿姆斯特朗数进行范围查询。

问题描述

给定一个包含整数的数组，其中可能存在一些阿姆斯特朗数。阿姆斯特朗数是指一个数的各个位数的立方和等于该数本身的数。例如，153 是一个阿姆斯特朗数，因为 $1^3+5^3+3^3=153$。现在需要对该数组中的所有子数组进行查询，判断其中包含的阿姆斯特朗数的数量。

算法流程

MO 算法的主要思想是将所有的询问打散，然后按照某种特定的顺序进行处理。具体而言，我们需要按照子数组左端点所在的块号和右端点的大小关系进行排序，然后依次处理所有的询问。在处理询问的过程中，我们需要维护当前子数组中阿姆斯特朗数的个数，并根据问题的要求返回答案。

下面是 MO 算法的具体实现过程：

1. 将所有的询问按照左端点所在块号和右端点的大小关系进行排序。

queries.sort(key=lambda x: (x[0] // block_size, x[1]))

2. 定义两个指针 $l$ 和 $r$，分别表示当前处理子数组的左右端点。

l, r = 0, -1

3. 定义一个数组 $cnt$，用于记录子数组中阿姆斯特朗数的个数。初始时，$cnt$ 应该全为 0。

cnt = [0] * (maxn + 1)

4. 定义一个变量 $ans$，用于记录当前子数组中阿姆斯特朗数的数量。

ans = 0

5. 依次处理所有的询问。每次处理询问时，需要移动左右端点，同时更新 $cnt$ 数组和 $ans$ 变量。

for ql, qr in queries:
    while l > ql:
        l -= 1
        if is_armstrong(a[l]):
            cnt[a[l]] += 1
            if cnt[a[l]] == 1:
                ans += 1
    while r < qr:
        r += 1
        if is_armstrong(a[r]):
            cnt[a[r]] += 1
            if cnt[a[r]] == 1:
                ans += 1
    while l < ql:
        if is_armstrong(a[l]):
            cnt[a[l]] -= 1
            if cnt[a[l]] == 0:
                ans -= 1
        l += 1
    while r > qr:
        if is_armstrong(a[r]):
            cnt[a[r]] -= 1
            if cnt[a[r]] == 0:
                ans -= 1
        r -= 1
    res.append(ans)

时间复杂度

假设 $n$ 表示数组的长度，$q$ 表示询问的个数，$m$ 表示最大的元素值，则 MO 算法的时间复杂度为 $O(n\sqrt{n}+q\sqrt{n}+q\log m)$。其中第一项是离线处理的复杂度，第二项是按照特定顺序处理所有的询问的复杂度，第三项是判断是否为阿姆斯特朗数的复杂度。

总结

MO 算法是一种经典的离线算法，可以用于解决子数组查询等问题。它的主要思想是将所有的询问按照特定顺序进行处理，从而达到优化的查询效率。在处理子数组中的阿姆斯特朗数范围查询问题时，我们可以使用 MO 算法来提高程序的效率。