使用 MO 的算法对子阵列中的阿姆斯壮数进行计数的范围查询

对于一个数 $n$，如果它是 $d$ 位数，那么它每一位上的数字的 $d$ 次幂之和等于 $n$，则 $n$ 被称为阿姆斯壮数。例如，$153$ 就是一个阿姆斯壮数，因为 $1^3 + 5^3 + 3^3 = 153$。

假设我们有一个长度为 $n$ 的数组 $a$，以及 $q$ 个询问，每个询问包含两个整数 $l$ 和 $r$，问 $a_l,\dots,a_r$ 中有多少个阿姆斯壮数。

其中 $n$ 和 $q$ 的范围均不超过 $10^5$。

为了解决这个问题，我们可以使用 MO 的算法，将询问离线后按照一定的顺序处理，这样可以避免重复查询。

MO 的算法是一种经典的莫队算法，其核心思想是将询问划分成块，同时维护块内和块间的答案，这样可以达到 $O(\sqrt{n}\log n)$ 的复杂度。

下面是使用 MO 的算法解决该问题的代码实现：

def count_armstrong_numbers(a, q):
    n = len(a)
    block_size = int(n ** 0.5)
    
    # 预处理所有数的 armstrong 值
    armstrong = [0] * (10 ** 9)
    for i in range(10 ** 9):
        s = 0
        for c in str(i):
            s += int(c) ** 3
        if s == i:
            armstrong[i] = 1
    
    # 定义计数器和块信息
    cnt = [0] * (n + 1)
    l, r, ans = 0, -1, [0] * q
    blocks = [(i * block_size, (i + 1) * block_size - 1) for i in range((n + block_size - 1) // block_size)]
    
    # 进行莫队操作
    for i in range(q):
        ql, qr = input_query[i]
        ql -= 1
        
        # 移动块指针
        while r < qr:
            r += 1
            cnt[a[r]] += 1
            if armstrong[a[r]]:
                ans[i] += 1
        
        while l > ql:
            l -= 1
            cnt[a[l]] += 1
            if armstrong[a[l]]:
                ans[i] += 1
        
        while r > qr:
            cnt[a[r]] -= 1
            if armstrong[a[r]]:
                ans[i] -= 1
            r -= 1
        
        while l < ql:
            cnt[a[l]] -= 1
            if armstrong[a[l]]:
                ans[i] -= 1
            l += 1
        
        # 计算答案
        for j in range(blocks[ql // block_size][1] + 1, qr + 1):
            if armstrong[a[j]]:
                ans[i] += 1
        
        for j in range(ql, (ql // block_size + 1) * block_size):
            if armstrong[a[j]]:
                ans[i] += 1
        
        for j in range((qr // block_size) * block_size, qr + 1):
            if armstrong[a[j]]:
                ans[i] += 1
    
    return ans

在上面的代码中，我们先预处理出所有数的阿姆斯壮值，然后定义计数器和块信息。接着我们对每一个询问，依次移动块指针，同时更新计数器，最后计算答案即可。

值得注意的是，在移动块指针时，我们需要判断当前的数是否为阿姆斯壮数，如果是，则对答案进行加一操作。同时，在计算答案时，我们也需要特殊处理边界情况。

最后，我们可以调用上面的函数，将输入的数组和询问集合作为参数传入，即可得到每个询问的答案。