三维运动

在一维空间中移动的粒子只需要一个坐标来指定它的位置。类似地，在二维中，需要两个坐标。在现实生活中的很多地方都会遇到三维运动，以分析这些现实生活中的情况。人们需要了解运动以及如何在数学上处理这三个坐标，以描述物体在三维平面中运动的轨迹。让我们详细看看这些概念。

三维空间中的运动

假设一个粒子在三维空间的两点之间移动。为了描述这个粒子的位置，需要一个位置向量。这些向量总是相对于原点的参考系。需要以下参数来完整描述粒子在平面中移动的行为，

1. 位置
2. 速度
3. 加速

位置向量

在 3-d 空间中，一个粒子可以在任何地方，它不能只用一个坐标来描述。在这种情况下，它是相对于原点表示的，它也构成了寻找该点应该进入的方向。这就是为什么需要一个向量来描述位置。表示粒子位置相对于原点的位置和方向的向量称为位置向量。位置向量$\vec{r}$因为一个粒子由下式给出，

$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$

Where x,  y, and z are their components along the x, y, and z-axis. 

速度

粒子在三维空间中运动的速度可以用两种方式描述——平均速度和瞬时速度。当粒子处于加速状态时，它每秒都会改变它的速度。因此，不能将单个值分配给速度。在这种情况下，瞬时速度是首选，它描述了特定时刻的速度及其方向。它是由，

$\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\\ = \vec{v} = \frac{dr}{dt}$

速度也可以表示为，

$v = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k}$

平均速度是总位移与总时间之比。假设一个粒子从$\vec{r}$到$\vec{r'}$在总时间$\Delta t$

速度由下式给出，

$\vec{v} = \frac{\vec{r} - \vec{r'}}{\Delta t}$

加速

物体在平面上运动的加速度由其速度的变化率给出。与速度类似，这里也有两种情况——平均加速度和瞬时加速度。平均加速度由物体速度的净变化与所用总时间的比率给出。让初始速度和最终速度表示为$\vec{v}_{i}$和$\vec{v_{f}}$

$\vec{v} = \frac{\vec{v_{f}} - \vec{v_{i}}}{\Delta t}$

当身体的加速度随时间变化时使用瞬时加速度。

$\vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\\ = \vec{a} = \frac{dv}{dt}$

把它分解成它的组件，

$a = \frac{dv_{x}}{dt}\hat{i} + \frac{dv_{y}}{dt}\hat{j} + \frac{dv_z}{dt}\hat{k}\\ = a = \frac{d^2x}{dt^2}\hat{i} + \frac{d^2y}{dt^2}\hat{j} + \frac{d^2z}{dt^2}\hat{k}$

加速度的大小也可以使用速度的分量来计算，

$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$

三维相对运动

相对运动表示从一个参考系看到的某个物体的速度。这些概念以一维和二维空间的形式为人所知。但是这些概念也可以扩展到三维空间。在下图中，考虑一个粒子 P 和参考帧 S 和 S'。在 S 中测量的坐标系 S' 的位置是 r _S'S ，相对于坐标系 S' 测量的粒子 P 的位置由 r _PS'给出，并且粒子 P 相对于参考坐标系的位置S 由 r _{PS 给出，}

从图中注意到，

r _PS = r _PS' + r _S'S

这些向量也为我们提供了相对速度的公式，对上述方程进行微分，

$\frac{d}{dt}(r_{PS}) = \frac{d}{dt}(r_{PS'} + r_{S'S})$

⇒ $\vec{v}_{PS} = \vec{v}_{PS'} + \vec{v}_{S'S}$

直观地说，粒子相对于 S 的速度等于 S' 相对于 S 的速度加上粒子相对于 S 的速度。再次微分这个方程，加速度方程由下式给出，

$\frac{d}{dt}(\vec{v}_{PS}) = \frac{d}{dt}(\vec{v}_{PS'} + \vec{v}_{S'S})$

⇒ $\vec{a}_{PS} = \vec{a}_{PS'} + \vec{a}_{S'S}$

质点相对于 S 的加速度等于 S' 相对于 S 的加速度加上质点相对于 S 的加速度。

示例问题

问题 1：求 t = 2 处的速度，对于在平面上运动且位置给定的粒子，r = t ² i + t ² j + tk

回答：

Given: the initial and final position vectors, 

r = t²i + t²j + tk

The velocity in this case is given by the formula, 

$v = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k}$

Here x(t) = t² and y(t) = t² and z(t) = t

Plugging these values into the equation, 

$v = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k} \\ v= \frac{d}{dt}(t^2)\hat{i} + \frac{d}{dt}(t^2)\hat{j} + \frac{d}{dt}(t) \hat{k}\\ v = 2t \hat{i} + 2t\hat{j} + \hat{k}$

 At t = 2, 

$v = 2t \hat{i} + 2t\hat{j} + \hat{k} \\ = v = 2(2)\hat{i} + 2(2)\hat{j} + \hat{k} \\ = v = 4\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$

问题 2：求 t = 0 时的速度，对于在平面上运动且位置给定的粒子，r = (t+2)i + (4t ² +2)j + t ² k

回答：

Given: the initial and final position vectors, 

r =  (t+2)i + (4t²+2)j + t²k

The velocity in this case is given by the formula, 

$v = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k}$

Here x(t) = (t + 2) and y(t) = 4t² + 2and z(t) = t²

Plugging these values into the equation, 

$v = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k} \\ v= \frac{d}{dt}(t + 2)\hat{i} + \frac{d}{dt}(4t^2 + 2)\hat{j} + \frac{d}{dt}(t^2) \hat{k}\\ v = \hat{i} + 8t\hat{j} + 2t\hat{k}$

At t = 0, 

$v = \hat{i} + 8t\hat{j} + 2t\hat{k}$

⇒$v = \hat{i} + 8(0)\hat{j} + 2(0)\hat{k}$

⇒ v = i 

问题 3：求 t = 0 和 t = 3 之间的平均加速度，对于在平面上运动且位置给定的粒子，v = 3ti + 3t ³ j + k

回答：

Given: velocity as a function of time. 

v = 3ti + 3t³j + k

The velocity vector changes with time. The average acceleration is given by the formula, 

$\vec{a} = \frac{\vec{v_f} - \vec{v_i}}{\Delta t}$

At t = 0 

v_i = 0i + 0j  + k 

At t = 3 

v_f = 9i + 81j  + k

$\Delta t = 3$

Plugging the values into the above equation, 

$\vec{a} = \frac{\vec{v_f} - \vec{v_i}}{\Delta t}\\ = \vec{a} = \frac{9\hat{i} + 81\hat{j}}{3} \\ = \vec{a} = 3\hat{i} + 27\hat{j}$

问题 4：求 t = 0 和 t = 2 之间的平均加速度，对于在平面上运动且位置给定的粒子，v = ti + 3tj + 2k

回答：

Given: velocity as a function of time. 

v = ti + 3tj + 2k

The velocity vector changes with time. The average acceleration is given by the formula, 

$\vec{a} = \frac{\vec{v_f} - \vec{v_i}}{\Delta t}$

At t = 0 

v_i = 0i + 0j  + 2k 

At t = 2 

v_f = 2i + 6j  + 2k

$\Delta t = 2$

Plugging the values into the above equation, 

$\vec{a} = \frac{\vec{v_f} - \vec{v_i}}{\Delta t}\\ = \vec{a} = \frac{2\hat{i} + 6\hat{j}}{2} \\ = \vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j}$

问题 5：求 t = 1 时的瞬时加速度，对于在平面上运动且位置给定的粒子，v = 2ti + 5t ³ j + tk

回答：

Given: velocity as a function of time. 

v = 2ti + 5t³j + tk

The velocity vector changes with time. The instantaneous acceleration is given by the formula, 

$\vec{a} = \frac{d}{dt}(\vec{v})$

$\vec{a} = \frac{d}{dt}(2t\hat{i} + 5t^3\hat{j} + t\hat{k})$

⇒ $\vec{a} = 2\hat{i} + 15t^2\hat{j} + \hat{k}$

at t = 1, 

⇒ $\vec{a} = 2\hat{i} + 15(1)^2\hat{j} + \hat{k}$

⇒ $\vec{a} = 2\hat{i} + 15\hat{j} + \hat{k}$