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📜  统计-线性回归

📅  最后修改于: 2021-01-23 06:42:01             🧑  作者: Mango

一旦使用相互关系分析确定了变量之间的关系程度，就自然可以研究关系的本质了。回归分析有助于确定变量之间的因果关系。如果可以使用图形方法或代数方法预测自变量的值，则可以预测其他变量(称为因变量)的值。

图形方法

它涉及绘制在X轴上具有自变量且在Y轴上具有因变量的散点图。之后，以某种方式绘制一条线，使其通过大部分分布，而其余点几乎均匀地分布在该线的两侧。

回归线称为最佳拟合线，用于总结数据的总体运动。它显示了一个变量的最佳平均值，对应于另一个变量的平均值。回归线基于这样的标准，即它是使因变量的预测值与观察值之间的平方偏差之和最小的直线。

代数法

代数方法建立了X在Y上和Y在X上的两个回归方程。

Y在X上的回归方程

$ {Y = a + bX} $

哪里-

  • $ {Y} $ =因变量

  • $ {X} $ =自变量

  • $ {a} $ =显示Y截距的常数

  • $ {b} $ =常数显示线的斜率

a和b的值通过以下正规方程式获得：

$ {\ sum Y = Na + b \ sum X \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum X + b \ sum X ^ 2} $

哪里-

  • $ {N} $ =观察数

X在Y上的回归方程

$ {X = a + bY} $

哪里-

  • $ {X} $ =因变量

  • $ {Y} $ =自变量

  • $ {a} $ =显示Y截距的常数

  • $ {b} $ =常数显示线的斜率

a和b的值通过以下正规方程式获得：

$ {\ sum X = Na + b \ sum Y \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum Y + b \ sum Y ^ 2} $

哪里-

  • $ {N} $ =观察数

例

问题陈述：

研究人员发现，父亲和儿子的体重倾向之间存在相互关系。他现在对根据给定数据的两个变量开发回归方程感兴趣：

Weight of father (in Kg) 69 63 66 64 67 64 70 66 68 67 65 71
Weight of Son (in Kg) 70 65 68 65 69 66 68 65 71 67 64 72

开发

  1. Y在X上的回归方程。

  2. Y上的回归方程。

解：

${X}$ ${X^2}$ ${Y}$ ${Y^2}$ ${XY}$
69 4761 70 4900 4830
63 3969 65 4225 4095
66 4356 68 4624 4488
64 4096 65 4225 4160
67 4489 69 4761 4623
64 4096 66 4356 4224
70 4900 68 4624 4760
66 4356 65 4225 4290
68 4624 71 5041 4828
67 4489 67 4489 4489
65 4225 64 4096 4160
71 5041 72 5184 5112
${\sum X = 800}$ ${\sum X^2 = 53,402}$ ${\sum Y = 810}$ ${\sum Y^2 = 54,750}$ ${\sum XY = 54,059}$

Y在X上的回归方程

Y = a + bX

其中，a和b是通过正规方程获得的

$ {\ sum Y = Na + b \ sum X \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum X + b \ sum X ^ 2 \\ [7pt]其中\ \ sum Y = 810，\ sum X = 800 ，\ sum X ^ 2 = 53,402 \\ [7pt]，\ sum XY = 54，049，N = 12} $

$ {\ Rightarrow} $ 810 = 12a + 800b …(i)

$ {\ Rightarrow} $ 54049 = 800a + 53402 b …(ii)

将方程式(i)乘以800并将方程式(ii)乘以12，我们得到：

96000 a + 640000 b = 648000 …(iii)

96000 a + 640824 b = 648588 …(iv)

从(iii)减去方程(iv)

-824乙= -588

$ {\ Rightarrow} $ b = -.0713

将b的值代入等式。 (一世)

810 = 12a + 800(-0.713)

810 = 12a + 570.4

12a = 239.6

$ {\ Rightarrow} $ a = 19.96

因此，X上的等式Y可以写成

$ {Y = 19.96-0.713X} $

X在Y上的回归方程

X = a + bY

其中，a和b是通过正规方程获得的

$ {\ sum X = Na + b \ sum Y \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum Y + b \ sum Y ^ 2 \\ [7pt]其中\ \ sum Y = 810，\ sum Y ^ 2 = 54,750 \\ [7pt]，\ sum XY = 54，049，N = 12} $

$ {\ Rightarrow} $ 800 = 12a + 810a + 810b …(V)

$ {\ Rightarrow} $ 54,049 = 810a + 54，750 …(vi)

将eq(v)乘以810，并将eq(vi)乘以12，我们得到

9720 a + 656100 b = 648000 …(vii)

9720 a + 65700 b = 648588 …(viii)

从eq vii减去eq viii

900b = -588

$ {\ Rightarrow} $ b = 0.653

将b的值代入方程式(v)

800 = 12a + 810(0.653)

12a = 271.07

$ {\ Rightarrow} $ a = 22.58

因此X和Y的回归方程为

$ {X = 22.58 + 0.653Y} $