代表：最短路径

给定一个图G =(V，E)，我们为每个顶点v∈V维持一个前驱体π[v]，它可以是另一个顶点或NIL。但是，在执行最短路径算法期间，π值不必表示最短路径。像在广度优先搜索中一样，我们将对值π引起的前一子图G _n =(V _n ，E _{n)感兴趣。}再一次，我们将顶点集_Vπ定义为具有非NIL前身的G顶点集，再加上源s：

的有向边集_EΠ是该组由以_VΠ顶点Π值引起的边缘的：

根于s的最短路径树是有向子图G =(V'E')，其中V'∈V和E'∈E，使得

• V'是G中从s可到达的一组顶点
• G'形成根为s的根树，并且
• 对于所有v∈V'，G中从s到v的唯一简单路径是G中从s到v的最短路径。

最短路径不是天生唯一的，也不是最短路径树。

最短路径的属性：

1.最佳子结构属性：最短路径的所有子路径都是最短路径。

令P ₁为最短s-v路径的x-y子路径。令P ₂为任何x-y路径。则P _1的成本≤P _2的成本，否则P不是最短的s-v路径。

2.三角不等式：令d(v，w)为从v到w的最短路径的长度。然后，
d(v，w)≤d(v，x)+ d(x，w)

3.上限属性：对于所有顶点v∈V，我们始终具有d [v]≥δ(s，v)，并且一旦d [v]得出值δ(s，v)，它就不会改变。

4.无路径性质：如果没有从s到v的路径，则我们通常有d [v] =δ(s，v)=∞。

5.收敛性：如果s-> u-> v是G在某些u上的最短路径，则v∈V，并且如果d [u] =δ(s，u)在松弛边(u， v)，则之后的所有时间d [v] =δ(s，v)。