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📜  关系的组合

📅  最后修改于: 2020-12-22 02:36:13             🧑  作者: Mango

关系的构成

设A，B和C，设R为从A到B的关系，使S为从B到C的关系。即，R为A×B的子集，S为B×的子集C.然后R和S产生一个由R◦S表示并由下式定义的从A到C的关系：

     a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. 
That is, 
     R ◦ S = {(a, c)| there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S}

关系R◦S已知R和S的组成；它有时简单地用RS表示。

令R是集合A上的关系，即R是从集合A到自身的关系。然后总是表示R◦R，即R本身的组成。同样，R◦R有时用R 2表示。类似地，R，等3 = R 2 =◦RR◦R◦R。因此R N是为所有正N个所定义。

示例1：设X = {4，5，6}，Y = {a，b，c}和Z = {l，m，n}。考虑从X到Y的关系R 1和从Y到Z的关系2。

找出关系式(i) R 1 o R 2 (ii) R 1 o R 1 -1的组成

解：

(i)组成关系R 1或R 2如图所示：

R 1 o R 2 = {(4，l)，(4，n)，(4，m)，(5，l)，(5，m)，(5，n)，(6，l)，( 6，m)，(6，n)}

(ii)组成关系R 1 o R 1 -1如图所示：

R 1 o R 1 -1 = {(4，4)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(4，6)，(6，6) }

关系和矩阵的组成

找到R◦S的另一种方法。令M R和M S分别表示关系R和S的矩阵表示。

例

Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by
    R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)}
    S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}.

        Find the matrices of the above relations.
Use matrices to find the following composition of the relation R and S.
  (i)RoS       (ii)RoR       (iii)SoR

解决方案：关系R和S的矩阵如图所示：

(i)获得关系R和S的组成。首先将M R与M S相乘，得到矩阵M R x M S ，如图所示：

矩阵M R x M S中的非零项告诉RoS中相关的元素。所以，

因此，关系R和S的成分R o S为

R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.

(ii)首先，将矩阵M R与其自身相乘，如图2所示。

因此，关系R和S的成分R o R为

R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)}

(iii)将矩阵M S乘以M R ，得到矩阵M S x M R ，如图所示：

矩阵M S x M R中的非零项告诉S o R中相关的元素。

因此，关系S和R的组成S o R为

S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.