关系类型

1.自反关系：上组A A关系R被认为是自反如果(A，A)∈R为每一个∈A.

示例：如果A = {1,2,3,4}，则R = {(1，1)(2，2)，(1，3)，(2，4)，(3，3)，(3， 4)，(4，4)}。关系是自反的吗?

解：对于每个a∈A，该关系是自反的。(a，a)∈R，即(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)∈R。

2.不自反关系：如果每个a∈A(a，a) ∉R，则集合A上的关系R被认为是不自反的。

示例：令A = {1,2,3}，R = {(1，2)，(2，2)，(3，1)，(1，3)}。关系R是自反的还是不自反的?

解决方案：对于每个a∈A，关系R不是自反的，(a，a)∉R，即(1，1)和(3，3)∉R。关系R对于(a，a)不是自反的)∉R，对于某些a∈A，即(2，2)∈R.

3.对称关系：集合A上的关系R被称为对称iff(a，b)∈R⟺(b，a)∈R。

示例：令A = {1,2,3}，R = {(1，1)，(2，2)，(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2 )}。关系R是否对称?

解：对于每个(a，b)∈R，关系是对称的，我们有(b，a)∈R，即(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3， 2)∈R但不自反，因为(3，3)∉R.

对称关系示例：

• 关系⊥r是对称的，因为线a是b的⊥r，然后b是a的⊥r。
• 而且，平行是对称的，因为如果线a是b的∥，那么b也是a的∥。

反对称关系：集合A上的关系R是反对称iff(a，b)∈R和(b，a)∈R，则a = b。

例1：设A = {1,2,3}，R = {(1，1)，(2，2)}。关系R是反对称的吗?

解决方案：当(a，b)和(b，a)都属于R时，关系R是a = b的反对称关系。

例2：设A = {4，5，6}，R = {(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，6)，(4，6)}。关系R是反对称的吗?

解决方案：关系R不是反对称的，因为4≠5，但是(4，5)和(5，4)都属于R。

5.不对称关系：如果对于每个(a，b)∈R表示(b，a)不属于R，则集合A上的关系R称为不对称关系。

6.传递关系：集合A上的关系R被称为传递iff(a，b)∈R和(b，c)∈R⟺(a，c)∈R。

示例1：令A = {1,2,3}，R = {(1，2)，(2，1)，(1，1)，(2，2)}。关系是可传递的吗?

解：关系R是传递性的，因为每个(a，b)(b，c)都属于R，我们有(a，c)∈R，即(1，2)(2，1)∈R⇒(1 ，1)∈R.

注1：关系≤，⊆和/是可传递的，即a≤b，b≤c然后a≤c(ii)令a⊆b，b⊆c然后a⊆c(iii)令a / b，b / c然后a / c。
注2：由于⊥rb，b⊥rc，⊥r不具有传递性，所以ar c是不正确的。由于没有一行是∥，所以我们可以有a b，b∥a但a∦a。因此∥不是可传递的，但在平面中将是可传递的。

7.身份关系：集合A上的身份关系I是自反的，传递的和对称的。因此，身份关系I是等价关系。

示例： A = {1,2,3} = {(1，1)，(2，2)，(3，3)}

8.空隙关系：由R：A→B给出，使得R =∅(⊆A x B)为零关系。空隙关系R =∅是对称的和可传递的，但不是自反的。

9.普遍关系：关系R：A→B，使得R = A x B(⊆A x B)是普遍关系。 A→B的普遍关系是自反的，对称的和可传递的。因此，这是一个等价关系。