门 | GATE-CS-2015（套装3）|第 59 题

这道题目要求我们设计一种数据结构，来解决一些门问题，例如门的开闭问题或者门的锁住问题。

问题描述

在我们的问题中，每一个门都可以被打开或关闭。一个门是否被打开或关闭，与其它门是否被打开或关闭无关。而且，我们的数据结构还需要支持以下操作：

• make_set(n): 初始化数据结构，n 为门的数量，编号从 0 到 n - 1。
• union_set(m1, m2): 将两个门所在的集合进行合并，m1 和 m2 是门的编号。
• is_connected(m1, m2): 判断两个门是否在同一个集合中，m1 和 m2 是门的编号。
• lock(m): 锁住一个门，m 是门的编号。
• unlock(m): 解锁一个门，m 是门的编号。
• is_locked(m): 判断一个门是否被锁住，m 是门的编号。

解决方案

我们可以采用并查集数据结构来解决这个问题。对于每一个门，我们都可以把它看作是一个节点，而门之间的关系可以看作是这些节点之间的关系。同时，每一把锁也可以看作是一个节点。

我们可以使用一个数组来表示每个节点所属的集合，例如 parent[i] 表示门 i 所在集合的根节点。当两个门需要进行合并时，我们可以通过路径压缩和按秩合并来优化并查集操作。

同时，我们还需要引入一个 locked[i] 数组来表示门 i 是否被锁住。 在 lock(m) 和 unlock(m) 操作时，需要对 locked[m] 进行修改。

最后，在 is_connected(m1, m2) 操作时，需要判断两个门是否处于同一个集合，并且在集合中的所有门是否都未被锁住。

代码实现

下面是该方案的 Python 代码示例：

class Doors:

    def __init__(self, n: int):
        self.parent = [i for i in range(n)]
        self.rank = [0] * n
        self.locked = [False] * n

    def find(self, i: int):
        if self.parent[i] != i:
            self.parent[i] = self.find(self.parent[i])
        return self.parent[i]

    def union(self, i: int, j: int):
        i_root = self.find(i)
        j_root = self.find(j)
        if i_root == j_root:
            return
        # Use rank to optimize union operation
        if self.rank[i_root] < self.rank[j_root]:
            self.parent[i_root] = j_root
        elif self.rank[i_root] > self.rank[j_root]:
            self.parent[j_root] = i_root
        else:
            self.parent[i_root] = j_root
            self.rank[j_root] += 1

    def lock(self, i: int):
        self.locked[i] = True

    def unlock(self, i: int):
        self.locked[i] = False

    def is_locked(self, i: int):
        return self.locked[i]

    def is_connected(self, i: int, j: int):
        return self.find(i) == self.find(j) and not any(self.locked[x] for x in range(len(self.parent)) if self.find(x) == self.find(i))

    def link(self, i: int, j: int):
        self.union(i, j)

这个数据结构使用并查集实现，时间复杂度为 O(log n)。