黎曼和

定积分是微积分的重要组成部分。它们用于计算未定义公式的任意形状的面积、体积等。从分析上讲，它们只是在它们之上有限制的不定积分，但在图形上它们代表曲线下的面积。界限表示应该计算面积的边界。这些概念在电气工程、机器人技术等领域非常重要。为了定义积分，使用黎曼和，我们使用无限小的矩形计算任何曲线下的面积。让我们详细看看这种对定积分的解释。

黎曼近似

黎曼和是一种近似曲线下面积的方法。其背后的直觉是，如果我们将区域划分为非常小的矩形，我们可以计算每个矩形的面积，然后将它们相加得出整个区域的面积。这与定积分背后的直觉相同。因此，这些和也可用于近似和定义定积分。定积分只不过是带极限的积分，它们用于求任意曲线形状下的面积、体积等。考虑下图，目标是计算 x = a 和 x = b 之间的这条曲线与 x 轴之间的面积。

现在让我们从将给定区域划分为多个矩形开始，假设该区域被划分为“n”个等宽的矩形。请注意，这些矩形并未覆盖整个区域，因此它是该区域的近似值。但是随着矩形数量的增加，近似值越来越接近实际区域。

在定积分符号中，该区域将表示为，

$\int^{b}_{a}f(x)dx$

该区域可以通过将曲线下的区域划分为 n 个大小相等的矩形来近似。因此，区间 [a, b] 被划分为由点定义的 n 个子区间。

a = x ₀ < x ₁ < x ₂ < ...。 x _n-2 < x _n-1 < x _n = b

那么，n个区间是，

[x ₀ , x ₁ ], [x ₁ , x ₂ ], ...。 [x _n-1 , x _n ]

因此，对于第 i^个矩形，宽度将为 [x _i-1 , x _i ]。

第 i^个矩形 A _i = f(x _i )(x _{i —} x _i-1 ) 的面积

所以总面积为$\sum^{n}_{i = 1}A_{i}$

这个和称为黎曼和。由于矩形的高度由区间的右极限决定，因此称为右黎曼和。下图显示了左黎曼和。

求和符号

The steps given below should be followed to find the summation notation of the riemann integral.

Step 1: Find out the width of each interval. Let’s denote the width of interval with $\Delta x$

Step 2: Let x_i denote the right-endpoint of the rectangle x_i = a + $\Delta x$.i

Step 3: Define the area of each rectangle. 

Step 4: Sum the areas 

假设目标是计算函数f(x) = x ³的图形下的面积，面积将在 x = 0 到 x = 4 之间计算。

将区间分成四等份，区间为 [0, 1], [1, 2], [2, 3] 和 [3, 4]。

那么，黎曼和可以写成：

A(1) + A(2) + A(3) + A(4) = $\sum^{4}_{i=1}A_{i}$

让我们计算正确的和 Riemann sum 。假设 x _i表示第 i^个矩形的右端点。

因此，x _i = i 的公式。现在，函数在这些点的值变为，

f(x _i ) = (i) ³

所以，A（i）=（高度）（宽度）

= (一) ³

黎曼和变为，

A(1) + A(2) + A(3) + A(4) = $\sum^{4}_{i=1}A_{i}$

⇒ A(1) + A(2) + A(3) + A(4) = $\sum^{4}_{i=1}i^3$

因此，这样几乎所有的黎曼和都可以用 sigma 表示法表示。

让我们解决这些概念的一些问题。

示例问题

问题一：选择如下图所示的黎曼积分类型。

1. 左黎曼和
2. 右黎曼和
3. 中点黎曼和

解决方案：

Since the values of the intervals are decided according to the left-end point of the interval. This is a left-Riemann Sum 

Answer-(1).

问题2：计算上图中给出的函数的Left-Riemann Sum。

解决方案：

Dividing the interval into four equal parts that is n = 4. The width of each interval will be, 

$\Delta x = \frac{8 - 0}{n} = \frac{8 - 0}{4} = 2$

x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 0 and x₄ = 0

The value of the function in each interval will be the value of the function at the right-end of the interval. 

$A = \sum^{n}_{i = 1}f(x_i)\Delta x$

⇒A = $f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x + f(x_3)\Delta x + f(x_4)\Delta x$

⇒A = $f(1)\Delta x + f(2)\Delta x + f(3)\Delta x + f(4)\Delta x$

⇒A = f(1)(2) + f(2)(2)+ f(3)(2) + f(4)(2)

⇒A = (f(1) + f(2) + f(3)+ f(4))(2)

⇒A = (1 + 2 + 3+ 4)(2)

⇒A = (10)(2)

⇒A = 20

问题3：考虑一个函数f(x) = 5 – 2x，它的面积是从x = 0到x = 4的黎曼和计算的，整个面积被分成4个矩形。用 sigma 符号求黎曼和

回答：

Step (i): Calculate the width

The whole length is divided into 4 equal parts, 

x_i = 0 and x_l = 4, 

Width of an interval is given by = $\frac{x_{l} -x_{i}}{n}$

Where x_i = initial point, and x_l – last point and n= number of parts 

n = 4 

$\Delta x = \frac{x_l - x_i}{n} \\ = \frac{4 - 0}{4} \\ = 1$

Step(ii): 

a = 0, 

x_i = 0 + $\Delta x$ i 

⇒ x_i = i

Step (iii): 

A_i = Height x Width 

    = f(x_i) $\Delta x$

    = (5 – 2i)(1)

    = 5 – 2i

Total Area = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) + A(5)

                  = $\sum^{5}_{i=1}5 - 2i$

问题 4：考虑一个函数f(x) = x ² ，它的面积是从 x = 0 到 x = 3 的黎曼和计算的，整个面积被分成 3 个矩形。用 sigma 符号求黎曼和

回答：

Step (i): Calculate the width

The whole length is divided into 3 equal parts, 

x_i = 0 and x_l = 3, 

Width of an interval is given by = $\frac{x_{l} -x_{i}}{n}$

Where x_i = initial point, and x_l – last point and n= number of parts 

n = 3 

$\Delta x = \frac{x_l - x_i}{n} \\ = \frac{3 - 0}{3} \\ = 1$

Step(ii): 

a = 0, 

x_i = 0 + $\Delta x$ i 

⇒ x_i = i

Step (iii) 

A_i = Height x Width 

    = f(x_i) $\Delta x$

    = (i²)

Total Area = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) + A(5)

                  = $\sum^{5}_{i=1}i^2$

问题 5：考虑一个函数f(x) = √x，它的面积是由 x = 0 到 x = 4 的黎曼和计算的，整个面积被分成 4 个矩形。用 sigma 符号求黎曼和

回答：

Step (i): Calculate the width

The whole length is divided into 4 equal parts, 

x_i = 0 and x_l = 4, 

Width of an interval is given by = $\frac{x_{l} -x_{i}}{n}$

Where x_i = initial point, and x_l – last point and n= number of parts 

n = 4 

$\Delta x = \frac{x_l - x_i}{n} \\ = \frac{4 - 0}{4} \\ = 1$

Step(ii): 

a = 0, 

x_i = 0 + $\Delta x.$i 

⇒ x_i = i

Step (iii) 

A_i = Height x Width 

    = f(x_i) $\Delta x$

    = (√i)(1)

    = √i

Total Area = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) 

                  = $\sum^{4}_{i=1}\sqrt{i}$

问题 6：考虑一个函数f(x) = x ² ，它的面积是从 x = 0 到 x = 2 的黎曼和计算的，整个面积被分成 2 个矩形。用 sigma 符号求黎曼和

回答：

Step (i): Calculate the width

The whole length is divided into 2 equal parts, 

x_i = 0 and x_l = 2, 

Width of an interval is given by = $\frac{x_{l} -x_{i}}{n}$

Where x_i = initial point, and x_l – last point and n= number of parts 

n = 2 

$\Delta x = \frac{x_l - x_i}{n} \\ = \frac{2 - 0}{2} \\ = 1$

Step(ii): 

a = 0, 

x_i = 0 + $\Delta x$ i 

⇒ x_i = i

Step (iii):

A_i = Height x Width 

    = f(x_i) $\Delta x$

    = (i²)(1)

    = i²

Total Area = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) 

                  = $\sum^{4}_{i=1}i^2$

问题 7：考虑一个函数f(x) = 3(x + 3)，它的面积是由 x = 0 到 x = 6 的黎曼和计算的，整个面积被分成 6 个矩形。用 sigma 符号求黎曼和

回答：

Step (i): Calculate the width

The whole length is divided into 4 equal parts, 

x_i = 0 and x_l = 6, 

Width of an interval is given by = $\frac{x_{l} -x_{i}}{n}$

Where x_i = initial point, and x_l – last point and n= number of parts 

n = 6 

$\Delta x = \frac{x_l - x_i}{n} \\ = \frac{6 - 0}{6} \\ = 1$

Step(ii): 

a = 0, 

x_i = 0 + $\Delta x$ i 

⇒ x_i = i

Step (iii):

A_i = Height x Width 

    = f(x_i) $\Delta x$

    = (3(i + 3))(1)

    = 3(i + 3)

Total Area = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) 

                  = $\sum^{4}_{i=1}3(i + 3)$