作为黎曼和的极限的定积分

定积分是微积分的重要组成部分。它们用于计算未定义公式的任意形状的面积、体积等。从分析上讲，它们只是在它们之上有限制的不定积分，但在图形上它们代表曲线下的面积。界限表示应该计算面积的边界。这些概念在电气工程、机器人等领域非常重要。为了定义积分，使用黎曼和，我们使用无限小的矩形计算任何曲线下的面积。让我们详细看看这种对定积分的解释。

黎曼和

黎曼的和和积分是由德国数学家 Bernhard Riemann 开发的，他对微分几何、数论及其分析领域做出了重大贡献。这些总和使用无限矩形计算任何曲线下的面积并将它们的面积相加。让我们通过一个例子来理解这些和，考虑一个函数f(x)，目标是计算 x = a 到 x = b 之间这条曲线下的面积。

在定积分符号中，该区域将表示为，

$\int^{b}_{a}f(x)dx$

该区域可以通过将曲线下的区域划分为 n 个大小相等的矩形来近似。因此，区间 [a, b] 被划分为由点定义的 n 个子区间。

a = x ₀ < x ₁ < x ₂ < ...。 x _n-2 < x _n-1 < x _n = b

那么，n个区间是，

[x ₀ , x ₁ ], [x ₁ , x ₂ ], ...。 [x _n-1 , x _n ]

因此，对于第 i^个矩形，宽度将为 [x _i-1 , x _i ]。

第 i^个矩形 A _i = f( $\frac{x_{i-1} + x_{i}}{2}$ )(x _{i -} x _i-1 )

所以总面积为$\sum^{n}_{i = 1}A_{i}$

这个和称为黎曼和。

通过黎曼和的定积分

通过黎曼和，可以计算任意复杂函数的曲线下面积。因此，可以使用黎曼和来定义定积分。直观地说，随着我们增加区域中矩形的数量，它们的宽度会减小，并且面积变得越来越接近曲线下的确切面积。

令 P 为最大区间的宽度。

$A = \lim_{|P| \to 0}\sum^{n}_{i = 1}f(\frac{x_i + x_{i-1}}{2})\Delta x$

该极限是函数f(x) 在极限 a 到 b 之间的定积分，表示为$\int^{b}_{a}f(x)dx$ .让 n 是我们在限制中进行的划分数，R(n) 是 n 次划分的黎曼和的值，当 n ⇢ ∞ 时，R(n) 变得越来越接近实际区域。让我们看看这些概念上的一些问题。

示例问题

问题 1：求函数f(x) = 5 在 x = 0 到 x = 6 之间的 n = 3 的黎曼和值。

解决方案：

Dividing the interval into four equal parts that is n = 3. The width of each interval will be, 

$\Delta x = \frac{6 - 0}{3} = \frac{6 - 0}{3} = 2$

The value of the function in each interval will be the value of the function at the mid-point of the interval. 

$A = \sum^{n}_{i = 1}f(\frac{x_i + x_{i-1}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{x_1 + x_{0}}{2})\Delta x + f(\frac{x_2 + x_{1}}{2})\Delta x + f(\frac{x_3 + x_{2}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{2 + 0}{2})\Delta x + f(\frac{4 + 2}{2})\Delta x + f(\frac{6 + 4}{2})\Delta x$

⇒A = $f(1)\Delta x + f(3)\Delta x + f(5)\Delta x$

⇒A = $(f(1) + f(2)+ f(3))\Delta x$

⇒A = (5 + 5 + 5)2

⇒A = 30

问题 2：求函数f(x) = n = 4 的黎曼和的值$\frac{x^2}{5}$在 x = 0 到 x = 4 之间。

解决方案：

Dividing the interval into four equal parts that is n = 4. The width of each interval will be, 

$\Delta x = \frac{4 - 0}{n} = \frac{4 - 0}{4} = 1$

The value of the function in each interval will be the value of the function at the mid-point of the interval. 

$A = \sum^{n}_{i = 1}f(\frac{x_i + x_{i-1}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{x_1 + x_{0}}{2})\Delta x + f(\frac{x_2 + x_{1}}{2})\Delta x + f(\frac{x_3 + x_{2}}{2})\Delta x + f(\frac{x_4 + x_{3}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{1 + 0}{2})\Delta x + f(\frac{2 + 1}{2})\Delta x + f(\frac{3 + 2}{2})\Delta x + f(\frac{4 + 3}{2})\Delta x$

⇒A = $f(0.5)\Delta x + f(1.5)\Delta x + f(2.5)\Delta x + f(3.5)\Delta x$

⇒A = $(f(0.5) + f(1.5)+ f(2.5) + f(3.5))\Delta x$

⇒A = $(0.05 + 0.45 + 1.25+ 2.45)\Delta x$

⇒A = 4.2

问题 3：求函数f(x) = x 在 x = 0 到 x = 6 之间的 n = 6 的黎曼和值。

解决方案：

Dividing the interval into four equal parts that is n = 6. The width of each interval will be, 

$\Delta x = \frac{6 - 0}{n} = \frac{6 - 0}{6} = 1$

The value of the function in each interval will be the value of the function at the mid-point of the interval. 

$A = \sum^{n}_{i = 1}f(\frac{x_i + x_{i-1}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{x_1 + x_{0}}{2})\Delta x + f(\frac{x_2 + x_{1}}{2})\Delta x + f(\frac{x_3 + x_{2}}{2})\Delta x + f(\frac{x_4 + x_{3}}{2})\Delta x + ....$

⇒A = $f(\frac{1 + 0}{2})\Delta x + f(\frac{2 + 1}{2})\Delta x + f(\frac{3 + 2}{2})\Delta x + f(\frac{4 + 3}{2})\Delta x + ...$

⇒A = $f(0.5)\Delta x + f(1.5)\Delta x + f(2.5)\Delta x + f(3.5)\Delta x + f(4.5)\Delta x + f(5.5)\Delta x$

⇒A = + $(f(0.5) + f(1.5)+ f(2.5) + f(3.5) + f(4.5) + f(5.5))\Delta x$

⇒A = $(0.5 + 1.5 + 2.5 + 3.5 + 4.5 + 5.5)\Delta x$

⇒A = 18

问题 4：求定积分 f(x) = $\int^{5}_{0}sin(x)dx$

解决方案：

f(x) = $\int^{5}_{0}sin(x)dx$

⇒f(x) = $[-cos(x)]^{5}_{0}$

⇒f(x) = $[cos(x)]^{0}_{5}$

⇒f(x) = 1 – cos(5)

问题 5：求定积分 f(x) = $\int^{1}_{0}sec^2(x) + cos(x) dx$

解决方案：

f(x) = $\int^{1}_{0}sec^2(x) + cos(x) dx$

⇒f(x) = $\int^{1}_{0}sec^2(x) + \int^{1}_{0}cos(x) dx$

⇒f(x) = $[tan(x)]^{1}_{0} + [sin(x)]^1_0$

⇒f(x) = tan(1) – tan(0) + sin(1) – sin(0) 

⇒f(x) = tan(1) + sin(1)

问题 6：求函数f(x) = log(x) 在 x = 1 到 x = 4 之间的 n = 3 的黎曼和值。

解决方案：

Dividing the interval into four equal parts that is n = 3. The width of each interval will be, 

$\Delta x = \frac{4 - 1}{n} = \frac{4 - 1}{3} = 1$

The value of the function in each interval will be the value of the function at the mid-point of the interval. 

$A = \sum^{n}_{i = 1}f(\frac{x_i + x_{i-1}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{x_1 + x_{0}}{2})\Delta x + f(\frac{x_2 + x_{1}}{2})\Delta x + f(\frac{x_3 + x_{2}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{1 + 2}{2})\Delta x + f(\frac{2 + 3}{2})\Delta x + f(\frac{3 + 4}{2})\Delta x$

⇒A = $f(1.5)\Delta x + f(2.5)\Delta x + f(3.5)\Delta x$

⇒A = $(f(1.5)+ f(2.5) + f(3.5))\Delta x$

⇒A = $(log(1.5) + log(2.5) + log(3.5))\Delta x$

⇒A = (0.17 + 0.39 + 0.54) 

⇒A = 0.56 + 0.54

⇒A = 1.1

问题 7：求函数f(x) = e ^x在 x = 0 到 x = 4 之间的 n = 2 的黎曼和值。

解决方案：

Dividing the interval into four equal parts that is n = 2. The width of each interval will be, 

$\Delta x = \frac{4 - 0}{n} = \frac{4 - 0}{2} = 2$

The value of the function in each interval will be the value of the function at the mid-point of the interval. 

$A = \sum^{n}_{i = 1}f(\frac{x_i + x_{i-1}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{x_1 + x_{0}}{2})\Delta x + f(\frac{x_2 + x_{1}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{0 + 2}{2})\Delta x + f(\frac{2 + 4}{2})\Delta x$

⇒A = $f(1)\Delta x + f(3)\Delta x$

⇒A = $(f(1)+ f(3))\Delta x$

⇒A = $(e^1 + e^3)\Delta x$

⇒A = (2.7 + 20)2 

⇒A = (22.7)(2)

⇒A = 45.4