UGC NET CS 2018 年 7 月 – II |问题 56

UGC NET CS 2018 年 7 月 – II 中的问题 56 考察了程序员的能力，下面是该问题介绍及解答。

问题介绍

有一个长度为 n 的数组 arr，其中每个元素值为 0 或 1。对于整数 i 和 j(i <= j)，我们可以得到数组中从 i 到 j 所有元素的与运算，即 arr[i] & arr[i+1] & ... & arr[j]。例如，如果 arr = [1,0,1,0,1]，则 (arr(2,4) = 1) & (arr(1,3) = 0)。

请编写一个高效的算法，找到数组中所有可能的运算结果的数量，并返回它们的和，结果需要对 1e9+7 取模。

解答

我们可以通过暴力遍历，来解决该问题，但这种方法时间复杂度为 n^3，显然不够高效，因此我们需要寻找更高效的解法。根据题目中的二进制位数和数据规模，我们可以得到一个灵感：

首先，我们能得到一个结论，如果 arr 中某个区间的元素中有一个为 0，则所有的与运算结果都是 0。因此我们可以只考虑 arr 中 1 所在的区间，并统计所有可能的区间的与运算结果，再将其与未出现 1 的区间的 1 与结果，最后累加得到总结果。

通过观察可得，如果在一个区间内，相邻两个元素必定有一个为 1，则一个长度为 k 的区间有 2^(k-1) 个子区间，且两两不重复。例如，对于数组[1,1,0,1,1]，区间 [2,5] 有 4 个子区间：[2,2],[2,3],[2,4],[2,5]，其中 [2,4] 的与运算结果为 0，而 [2,2],[2,3] 和 [2,5] 的结果为 1，共有 3 个结果。

我们可以遍历数组，利用动态规划的思想，计算以当前位置为结尾的子区间的并运算结果，然后统计所有结果的和即可。我们可以定义一个 dp 数组，dp[i][j] 表示以 i 为右端点，长度为 j 的子区间的与运算结果。

状态转移方程为：dp[i][j] = (dp[i-1][j-1] & arr[i])，表示将当前元素 arr[i] 与前一位的运算结果相与。

最终结果为累加所有长度为大于或等于 1 的 1 区间的子区间的结果，与未出现 1 的区间的 1 的个数，即：

ans(1...n) = cnt(1...n) + (dp[1][1] + dp[1][2] + ... + dp[1][n]) + (dp[2][2] + dp[2][3] + ... + dp[2][n]) + ... + (dp[i][i] + dp[i][i+1] + ... + dp[i][n]) + ...

其中，cnt(1...n) 表示数组中出现 1 的个数。

代码如下：

def and_sum(arr):
    mod = 10**9+7
    n = len(arr)
    cnt = arr.count(1)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    ans = cnt
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, i + 1):
            dp[i][j] = (dp[i - 1][j - 1] & arr[i - 1])
            if j <= cnt:
                ans += dp[i][j]
                ans %= mod
    return ans % mod

该算法的时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n^2)。