垂直圆周运动

在分析物体在垂直圆周上的运动时，我们必须考虑重力。由于地球引力场的影响，物体在字符串中的速度和张力的大小不断波动。在最低位置，它是最大的，在最高位置，它是最小的。结果，在垂直圆周上的圆周运动是不均匀的。

垂直圆周运动速度的表达式

考虑一个质量为“m”的小物体，它在一根字符串的一端绕成一个半径为“t”的垂直圆圈。在本例中，身体的加速度随着它下降垂直圆而增加，并随着它上升垂直圆而减小。因此，身体的速度是不断变化的。

它在垂直圆的底部达到最大值，在顶部达到最小值。结果，身体不会做圆周运动。权重“mg”始终垂直向下运行，无论粒子在圆上的哪个位置。

垂直圆周运动

让'L'代表垂直圆的最低点。

让“u”代表物体在 L 处的速度。

让“v”代表物体在垂直圆上任意点 P 处的速度。

让“h”表示点 P 和点 L 之间的距离。

根据能量守恒定律，

P点的能量= L点的能量

(½) mv ² + mgh = (½) mu ²

v ² + 2 gh = u ²

v ² = u ² – 2 gh

v = √(u ² – 2 gh)

这是一个粒子在做圆周运动时在垂直圆周上任意一点的速度方程。

Expression for Tension in String in Motion of Body in Vertical Circle

Consider the centripetal force at point P.

T – m g cosθ = m v² ⁄ r

T = m g cosθ + m v² ⁄ r

From figure, cosθ = (r – h) ⁄ r

Substitute in the equation of T.

T = m g (r – h) ⁄ r + m v² ⁄ r

   = m ⁄ r (g (r – h) + v²)

But v² = u² – 2 g h

T = m ⁄ r (g r – g h + u² – 2 g h)

  = m ⁄ r (u² – 3 g h + g r)

This is an equation for tension in string.

张力的特殊情况

案例1：当身体处于最低位置时（h = 0）

我们有，

T = m ⁄ r (u ² – 3 gh + gr)

在点 L (h = 0)

T _L = m ⁄ r (u ² – 3 g (0) + gr)

= m ⁄ r (u ² + gr)

案例2：当身体处于最高位置时（h = 2 r）

我们有，

T = m ⁄ r (u ² – 3 gh + gr)

在点 H (h = 2 r)

T _H = m ⁄ r (u ² – 3 g (2 r) + gr)

       = m ⁄ r (u ² – 5 克)

案例3：当字符串水平时（h = r）

T = m ⁄ r (u ² – 3 gh + gr)

在点 M (h = r)

T _M = m ⁄ r (u ² – 3 g (r) + gr)

= m ⁄ r (u ² – 2 克)

最高点和最低点张力的关系

T _L – T _H = m ⁄ r (u ² + gr) – m ⁄ r (u ² – 5 gr)

= 亩² ⁄ r + 毫克 – 亩² ⁄ r + 5 毫克

= 6 毫克

结果，最低点 L 处的字符串张力是最高点 H 处张力的六倍。

循环时身体在不同位置的最小速度

(1) 在最低点 L (h = 0)

这是身体绕一圈或完全绕一圈所需的最低身体速度。因此，在最高点，张力必须大于 0。

T _H > 0

m ⁄ r (u ² – 5 克) > 0

u ² – 5 克 > 0

u ² > 5 克

u > √(5 克)

这是垂直圆最低点所需的最小速度。

(2) 在最高点 H (h = 2r)

我们有，

v = √(u ² – 2 gh)

= √(5 克 – 2 克 (2 r))

= √(5 克 – 4 克)

= √(克)

(3) 当弦为水平时 (h = r)

我们有，

v = √(u ² – 2 gh)

= √(5 克 – 2 克)

= √(3 克)

This is the required minimum velocity when the string is horizontal.

• If the velocity of the body is such that v < √(2 g r), then the body oscillates about the lowest point of the vertical circle.
• If the velocity of the body is such that √(2 g r) < v < √(5 g r), then the body leaves the circular path and acts as a projectile. It will leave circular motion between horizontal and highest point.

做垂直圆周运动的物体的能量

人体的能量有两部分：动能和势能。

(1) 在最低点 L (h = 0)

动能，E _K = (1⁄2) mv ²

= (1⁄2) 米 (√(5 克)) ²

= (5⁄2) 经理

势能，E _P = mgh

= 毫克 (0)

= 0

总能量，E _T = E _K + E _P

= (5⁄2) 经理 + 0

= (5⁄2) 经理

(2) 在最高点 H (h = 2r)

• 动能, E _K = (1⁄2) mv ²

= (1⁄2) 米 (√(gr)) ²

= (1⁄2) 经理

• 势能, E _P = mgh

= 毫克 (2r)

= 2 经理

• 总能量， E _T = E _K + E _P

= (1⁄2) 管理人员 + 2 管理人员

= (5⁄2) 经理

(3) 当字符串为水平时(h = r)

• 动能, E _K = (1⁄2) mv ²

= (1⁄2) 米 (√(3 克)) ²

= (3⁄2) 经理

• 势能, E _P = mgh

= 毫克 (r)

=经理

• 总能量，E _T = E _K + E _P

= (3⁄2) 经理 + 经理

= (5⁄2) 经理

The lowest point on the circular route has the most kinetic energy, whereas the highest point has the least. The total amount of energy is preserved.

示例问题

问题 1：一块 2 kg 的石头在 1 m 长的绳子末端作垂直圆周旋转。求石头的速度：

a) 最低位置

b)字符串水平的中途

c）最上面的位置刚刚完成圆圈。

解决方案：

Given:

Radius of circular path, r = 1 m

Mass of the body, m = 2 kg

Gravity, g = 9.8 m ⁄ s²

a) Velocity at lowermost point, v_L = √(5 g r)

                                                     = √(5 × 9.8 × 1) m ⁄ s

                                                     = 7 m ⁄ s

b) When string is horizontal, v_M = √(3 g r)

                                                  = √(3 × 9.8 × 1) m ⁄ s

                                                  = 5.42 m ⁄ s

c) Velocity at topmost point, v_H = √(g r)

                                                  = √(9.8 × 1) m ⁄ s

                                                  = 3.13 m ⁄ s

Hence, velocity at lowermost point is 7 m ⁄ s, when string is horizontal is 5.42 m ⁄ s, and velocity at topmost point is 3.13 m ⁄ s.

问题 2：一块重 2 kg 的石头在一根 1 m 长的绳子末端作垂直圆周旋转。在以下位置找到字符串的张力：

a) 最低位置

b)字符串水平的中途

c）最上面的位置刚刚完成圆圈。

解决方案：

Given:

Radius of circular path, r = 1 m

Mass of the body, m = 2 kg

Gravity, g = 9.8 m ⁄ s2

a) Tension at lowermost point, T_L = m ⁄ r (u² + g r)

                                                     = m ⁄ r (5 g r + g r)

                                                     = 6 m g

                                                     = 6 × 2 × 9.8 N

                                                     = 117.6 N

b) When string is horizontal, T_M = m ⁄ r (u² – 2 g r)

                                                  = m ⁄ r (5 g r – 2 g r)

                                                  = 3 m g

                                                  = 3 × 2 × 9.8 N

                                                  = 58.8 N

c) Tension at topmost point, T_H = m ⁄ r (u² – 5 g r)

                                                  = m ⁄ r (5 g r – 5 g r)

                                                  = 0 N

Hence, tension at lowermost point is 117.6 N, when string is horizontal is 58.8 N, and tension at topmost point is 0 N.

问题 3：如果字符串的最大张力为 10 kg wt，则连接在 1 m 长字符串上的质量为 2 kg 的物体以恒定角速度在垂直圆周上旋转。计算物体的速度。

解决方案：

Given:

Mass of object, m = 2 kg,

Radius of circle, r = 1 m,

Tension in the string, T = 10 kg wt

                                    = 10 × 9.8 N

                                    = 98 N

Tension in a vertical circle is maximum at lowest point.

T_max = m v² ⁄ r + m g

        = m (v² ⁄ r + g)

v² ⁄ r + g = T_max ⁄ m

v = √(r (T_max ⁄ m – g))

  = √(1 (98 ⁄ 2 – 9.8)) m ⁄ s

  = √39.2 m ⁄ s

  = 6.26 m ⁄ s

Hence, speed of the object is 6.26 m ⁄ s.

问题 4：找出路径中粒子在半径为“r”的垂直圆中可能具有零张力的点。

解决方案：

 Let the tension in the string at the highest point be T.

Minimum speed required by the particle at the highest point to complete the vertical circular motion is √ (g r).

Equation of equilibrium

m v² ⁄ r = T + m g

m (g r) ⁄ r = T + m g

m g = T + m g

T = 0

Hence, tension can be zero at the highest point.

问题 5：汽车在半径 100 m 的平坦圆形轨道上以 40 m ⁄ s 的恒定速度运动。如果汽车重 500 公斤，求出作用在汽车上的向心力。

解决方案：

Given:

Mass of the car, m = 500 kg

Radius of the track, r = 100 m

Speed of the car, v = 40 m ⁄ s

Angular velocity, ω = v ⁄ r

                               = 40 ⁄ 100

                               = 0.4 rad ⁄ s

Centripetal force on the car, F_c = m r ω²

                                                = 500 × 100 × (0.4)² N

                                                = 8000 N

Hence, the centripetal force on the car is 8000 N.