如何找到标准偏差

标准偏差是研究变异(离散)的最重要且使用最广泛的度量。它显示了数据的变化。标准偏差的计算有点复杂。错误的风险很高，因此我们需要高度重视和准确的计算。在本节中，我们将学习如何找到标准偏差。

标准偏差定义

标准偏差(SD)是一种量化方法，用于衡量数据集相对于其平均值的分布(分散)。计算为方差的平方根。用较低的希腊字母σ(sigma)表示。如果偏差较大，则色散将较大，而如果偏差较小，则均匀性也较大。

其他一些定义是：

• 标准偏差是所有值与平均值之间的差异的度量。
• 标准差是与平均值的平方差总和的平方根除以观察数。
• 它是方差的平方根。

方差

它定义了一个随机变量与其期望值的差异。它是期望值和单个值之间差异的平方的平均值。它永远不会有负值。它是由^σ2表示。方差公式为：

如何找到标准偏差

通过确定每个数据点之间相对于均值的变化，将其计算为方差的平方根。标准偏差越高，每个数据集和平均值之间的方差越大。

标准差公式

有两个公式可以计算标准偏差。这两个公式都可以测量变化。但是它们之间是有区别的。

• 人口标准差
• 样本标准偏差

人口标准差

它是一个参数，可以根据总体中的每个人计算出固定值。人口标准差的公式为：

哪里：

σ ：人口标准偏差。

x _i ：数据中的每个元素

μ ：数据集中所有元素的平均值。

N ：元素数。

样本标准偏差

这是一个统计数据。在此标准偏差下，仅从人口中抽取一些个体进行计算。它具有更大的可变性，因为它取决于样本。因此，样本的标准偏差大于总体标准偏差。

样品标准偏差的公式为：

哪里：

s ：样品标准偏差。

x _i ：数据集中的每个元素。其中i = 1，2，3，….，N.

x ：数据集中所有元素的均值。

N ：元素数。

现在，我们将看到这些标准偏差之间的差异。考虑样本和总体标准差公式；我们看到两个公式几乎相同。

步骤1：首先，计算平均值。对所有值求和，然后除以元素数。

步骤2：计算平均值的偏差。要达到相同目的，请从每个值中减去平均值。

步骤3：对偏差进行平方。

步骤4：将偏差平方并添加。

步骤5：将偏差平方除以观察次数。此步骤在总体标准偏差和样本标准偏差之间有很大的不同。

• 使用总体标准差时，将平方差的总和除以N (元素或观测值的数量)。
• 使用样本标准偏差时，将平方偏差的总和除以N-1 (小于元素或观测值的数量一)。

步骤6：找到在上一步中得到的商的平方根。

总体值和样本标准差取决于N。 N值越大，总体和样本标准偏差越大。

标准偏差的性质

• 标准偏差的值永远不会为负。
• 低偏差表明数据点趋向于非常接近均值。
• 高偏差表示数据点分布在较大的值范围内。
• 如果我们将常数添加到所有数据集，则不会影响标准偏差。
• 如果我们将一个常数乘以所有数据集，则会影响标准偏差。
• 当且仅当所有观测值都相同时，标准偏差才可以为零。

标准偏差的使用

• 它被广泛用于生物学研究，统计和金融领域。
• 它用于将正态曲线拟合到频率分布。
• 用于测量色散。
• 它还在金融领域中用于计算金融风险。

标准偏差的方法

直接法

我们也可以使用直接方法找到标准偏差。当偏离实际均值时使用。直接方法的公式为：

哪里：

d =(x _i – x )

σ ：标准偏差

x _i ：数据集中的每个元素。其中i = 1，2，3，….，N.

x ：数据集中所有元素的均值。

N ：元素数。

假设均值法

在这种方法中，我们不计算实际均值。取而代之的是，我们选择一个随机值来计算偏差。假定值必须在中间值附近。也称为快捷方式。假定均值方法的公式为：

哪里，

f ：对应频率

d = xA (假设A为平均值)

N ：数据集中的元素数。

步进偏差法

它是快捷方法的扩展形式。它简化了计算。假定均值方法的公式为：

哪里，

f ：对应频率

d = (假设A为均值)

N ：数据集中的元素数。

i ：普通班间隔

发行类型

在转向示例之前，我们必须了解三种分布类型。

• 个体系列：个体系列是单列观察。例如：

Marks (x)

55

34

78

58

90

67

81

• 离散系列：在离散系列中，有两列。第一列由观测值组成，第二列由频率组成。例如：

Marks (x)	65	86	58	45	88	90	35
No. of Students (f)	5	7	12	8	4	2	1

• 频率分布：频率分布也有两列。第一列由观测值组成，第二列由频率组成。观察结果进一步分为称为类的间隔。例如：

Marks (x)	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90
No. of Students (f)	6	8	14	7	3	9	2

Standard Deviation Formulas
Distribution	Direct Method	Assumed Mean or Short-cut Method	Step Deviation Method
Individual Series			–
Discrete Series			–
Frequency Distribution	–	–

个别系列的例子

示例：使用直接和假定均值方法查找以下数据的标准偏差。

Marks

25

34

21

28

60

33

72

55

解：

使用直接方法

首先，我们将计算平均值。

现在，我们将计算方差^(σ2)。

方差的公式为：

Marks (x)	d=(xi–x)	d2=(xi–x)2
25	-16	256
34	-7	49
21	-20	400
28	-13	169
60	19	361
33	-8	64
72	31	961
55	15	225
	∑(xi–x)=1	∑(xi–x)2= 2485

将值放在方差公式中，我们得到：

对于标准偏差的公式为^：σ=√σ2

σ= √310.625 = 17.624
σ= 17.624

使用假设均值或捷径法

我们知道各个序列的假设均值方法的公式：

在上式中， d ＝ xA 。假设A为均值。因此，假设A = 38 。

Marks (x)	d=(xi-A)	d2=(xi-A)2
25	-13	169
34	-4	16
21	-17	289
28	-10	100
60	22	484
33	-6	36
72	34	1156
55	17	289
	∑(xi-A)=23	∑(xi-A)2= 2539

将值放在上面的公式中，我们得到：

离散系列的例子

示例：使用直接和快捷方法找到下面给出的数据的标准偏差。

Marks (x)	3.5	4.5	5.5	6.5	7.5	8.5	9.5
No. of Students (f)	3	7	22	60	85	32	8

解：

使用直接方法

首先，我们将计算平均值。

我们知道离散序列的直接方法的公式：

Marks (x)	f	d=(xi–x)	d2=(xi–x)2	fd	fd2
3.5	3	-3	9	-9	27
4.5	7	-2	4	-14	28
5.5	22	-1	1	-22	22
6.5	60	0	0	0	0
7.5	85	1	1	85	85
8.5	32	2	4	64	128
9.5	8	3	9	24	72
	∑f=217				∑fd2=362

将值放在公式中，我们得到：

使用快捷方式

我们知道离散序列的快捷方法的公式：

在上式中， d ＝ xA 。假设A为均值。因此，假设A = 6.5 。

Marks (x)	f	d=(xi-A)	d2=(xi-A)2	fd	fd2
3.5	3	-3	9	-9	27
4.5	7	-2	4	-14	28
5.5	22	-1	1	-22	22
6.5	60	0	0	0	0
7.5	85	1	1	85	85
8.5	32	2	4	64	128
9.5	8	3	9	24	72
	∑f=217			∑fd=128	∑fd2=362

将值放在公式中，我们得到：

因此，标准偏差为1.148。

频率分布示例(分组数据或连续序列)

示例：使用直接和快捷方法计算下面给出的数据的标准偏差。

Marks (x)	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
No. of Students (f)	15	15	23	22	25	10	5	10

解：

使用步进偏差法

我们知道连续序列的阶跃偏差法的公式：

在上式中 。假设A为均值。因此，首先，我们将计算平均值(m)。在下表中，我们计算了每个班级间隔的平均值。其中，我们假设均值为35 。

Marks (x)	f			d2	fd	fd2
0-10	15	5	-3	9	-45	135
10-20	15	15	-2	4	-30	60
20-30	23	25	-1	1	-23	23
30-40	22	35 (A)	0	0	0	0
40-50	25	45	1	1	25	25
50-60	10	55	2	4	20	40
60-70	5	65	3	9	15	45
70-80	10	75	4	16	40	160
	∑f=N=125				∑fd=2	∑fd2=488

将值放在公式中，我们得到：

人口标准偏差示例

示例：使用总体标准偏差查找标准偏差。

12，2，45，23，55，8，11，19，57，3

解：

在上述问题中，给出了十个学生的分数。问题是说适用样品标准偏差。在这种情况下，我们不会计算所有学生的分数。我们将以一些学生的分数作为计算样本。

我们仅采用了六个分数进行计算，如下所示：

12，45，23，11，19，3

我们知道样本标准偏差的公式：

现在，我们将找到公式中使用的值。

步骤1：计算样本平均值( x ) 。

步骤2：对于每个数据元素，减去均值并平方结果。

x	(xi–x)	(xi–x)2
12	-7	49
45	26	676
23	4	16
11	-7	49
19	0	0
3	-16	256
		∑(xi–x)2=1046

步骤3：将∑(x _i – x ) ²除以N-1 。这里总共有6个元素，因此将总和除以6-1 = 5，我们得到：

步骤4：取上述结果的平方根。

s = √209.2 = 14.46

因此，样本标准偏差为14.46。

样本标准偏差示例

示例：使用总体标准偏差查找标准偏差。

12，2，45，23，55，8，11，19，57，3

解：

在上述问题中，给出了十个学生的分数。问题说适用人口标准差。在这种情况下，我们将计算所有学生的分数。

我们知道样本标准偏差的公式：

现在，我们将找到公式中使用的值。

步骤1：计算总体平均值(μ)。

步骤2：对于每个数据元素，减去均值并平方结果。

x	(xi-μ)	(xi-μ)2
12	-12	144
2	-22	484
45	21	441
23	-1	1
55	31	961
8	-16	256
11	-13	169
19	-5	25
57	33	1089
3	-21	441
		∑(xi-μ)2=4011

步骤3：将∑(x _i- μ) ²除以N。在这里，总共有10个元素，因此将总和除以10，我们得到：

步骤4：取上述结果的平方根。

σ=√401 = 20.02 = 20

因此，总体标准偏差为20。