数学归纳法是一种证明结果或建立自然数陈述的技术。本部分通过各种示例说明了该方法。

定义

数学归纳法是一种数学技术，用于证明每个自然数的陈述，公式或定理都是正确的。

该技术包括两个步骤来证明一个陈述，如下所述-

步骤1(基本步骤) -证明对于初始值而言，陈述是正确的。

步骤2(归纳步骤) -证明如果该语句对于第n^次迭代(或数字n )是正确的，那么对于第(n + 1)^次迭代(或数字n + 1 )也是正确的。

怎么做

步骤1-考虑语句为真的初始值。要证明的是，对于n =初始值，该陈述是正确的。

步骤2-假设对于n = k的任何值，该语句为真。然后证明该陈述对于n = k + 1是正确的。我们实际上将n = k + 1分为两部分，一部分是n = k (已经证明)，然后尝试证明另一部分。

问题1

$ 3 ^ n-1 $是n = 1、2，…的2的倍数。

解

步骤1-对于$ n = 1，3 ^ 1-1 = 3-1 = 2 $是2的倍数

步骤2-假设对于$ n = k $，$ 3 ^ n-1 $是真实的，因此，$ 3 ^ k -1 $是真实的(这是一个假设)

我们必须证明$ 3 ^ {k + 1} -1 $也是2的倍数

$ 3 ^ {k + 1}-1 = 3 \ times 3 ^ k-1 =(2 \ times 3 ^ k)+(3 ^ k-1)$

第一部分$(2 x 3k)$肯定是2的倍数，第二部分$(3k -1)$也是我们先前的假设。

因此，$ 3 ^ {k + 1} – 1 $是2的倍数。

因此，证明$ 3 ^ n – 1 $是2的倍数。

问题2

$ 1 + 3 + 5 + … +(2n-1)= n ^ 2 $ for $ n = 1，2，\点$

解

步骤1-对于$ n = 1，1 = 1 ^ 2 $，因此，步骤1得到满足。

步骤2-假设对于$ n = k $，该语句为真。

因此，$ 1 + 3 + 5 + \点+(2k-1)= k ^ 2 $是真实的(这是一个假设)

我们必须证明$ 1 + 3 + 5 + … +(2(k + 1)-1)=(k + 1)^ 2 $也成立

$ 1 + 3 + 5 + \点+(2(k + 1)-1)$

$ = 1 + 3 + 5 + \点+(2k + 2-1-)$

$ = 1 + 3 + 5 + \点+(2k +1)$

$ = 1 + 3 + 5 + \点+(2k-1)+(2k +1)$

$ = k ^ 2 +(2k +1)$

$ =(k + 1)^ 2 $

因此，满足步骤2的$ 1 + 3 + 5 + \ dots +(2(k + 1)-1)=(k + 1)^ 2 $ hold。

因此，证明了$ 1 + 3 + 5 + \点+(2n-1)= n ^ 2 $。

问题3

证明$(ab)^ n = a ^ nb ^ n $对于每个自然数$ n $都是正确的

解

步骤1-对于$ n = 1，(ab)^ 1 = a ^ 1b ^ 1 = ab $，因此，满足步骤1。

步骤2-假设对于$ n = k $，该语句为真，因此，$(ab)^ k = a ^ kb ^ k $为真(这是一个假设)。

我们必须证明$(ab)^ {k + 1} = a ^ {k + 1} b ^ {k + 1} $也成立

给定$(ab)^ k = a ^ kb ^ k $

或$(ab)^ k(ab)=(a ^ kb ^ k)(ab)$ [将两边都乘以’ab’]

或$(ab)^ {k + 1} =(aa ^ k)(bb ^ k)$

或$(ab)^ {k + 1} =(a ^ {k + 1} b ^ {k + 1})$

因此，证明了步骤2。

因此，对于每个自然数n， $(ab)^ n = a ^ nb ^ n $都是正确的。

强感应

强归纳法是数学归纳法的另一种形式。通过这种归纳技术，我们可以使用以下步骤证明命题函数$ P(n)$对于所有正整数$ n $是正确的-

• 步骤1(基本步骤) -证明初始命题$ P(1)$为真。

• 步骤2(归纳步骤) -证明条件语句$ [P(1)\ land P(2)\ land P(3)\ land \ dots \ land P(k)]→P(k + 1)$对于正整数$ k $为true。