与计数概念密切相关的是概率。我们经常尝试猜测机会游戏的结果，例如纸牌游戏，老虎机和彩票；即，我们尝试找到获得特定结果的可能性或概率。

概率可以概念化为发现事件发生的机会。在数学上，它是对随机过程及其结果的研究。概率定律在遗传学，天气预报，民意测验，股票市场等各个领域具有广泛的适用性。

基本概念

概率论是由两位法国数学家布莱斯·帕斯卡(Blaise Pascal)和皮埃尔·德·费马特(Pierre de Fermat)在17世纪发明的，他们处理有关机会的数学问题。

在继续介绍概率的细节之前，让我们先了解一些定义的概念。

随机实验-将所有可能的结果已知并且无法预先预测确切输出的实验称为随机实验。扔一个公平的硬币是随机实验的一个例子。

样本空间-当我们进行实验时，所有可能结果的集合S称为样本空间。如果抛硬币，样本空间$ S = \ left \ {H，T \ right \} $

事件-样本空间的任何子集都称为事件。投掷硬币后，将Head放在顶部是一件大事。

单词“概率”是指发生特定事件的机会。我们可以说的最好的是，使用概率的想法，它们发生的可能性。

$ Probability \：of \：occurrence \：of \：an \：event = \ frac {Total \：number \：of \：favourable \：result} {Total \：number \：of \：Outcomes} $

由于任何事件的发生在0％和100％之间变化，因此概率在0和1之间变化。

找出概率的步骤

步骤1-计算实验的所有可能结果。

步骤2-计算实验的有利结果数。

步骤3-应用相应的概率公式。

扔硬币

如果抛硬币，可能会有两种结果-头$(H)$或尾巴$(T)$

因此，结果总数= 2

因此，将头部$(H)$放在顶部的概率为1/2，而将尾巴$(T)$放在顶部的概率为1/2

投掷骰子

当掷出骰子时，六个可能的结果可以放在顶部-$ 1、2、3、4、5、6 $。

任何一个数字的概率是1/6

得到偶数的概率是3/6 = 1/2

获得奇数的概率是3/6 = 1/2

从甲板上取卡

从一副52张牌中，如果选择了一张，则发现一张王牌被抽出的可能性，以及一张钻石被抽出的可能性。

可能结果的总数-52

成为王牌的结果− 4

成为王牌的概率= 4/52 = 1/13

成为钻石的概率= 13/52 = 1/4

概率公理

• 事件的概率始终在0到1之间变化。$ [0 \ leq P(x)\ leq 1] $

• 对于不可能的事件，概率为0，对于某些事件，概率为1。

• 如果一个事件的发生不受另一事件的影响，则将它们称为互斥或不相交。

  如果$ A_1，A_2 …. A_n $是互斥/不相交的事件，则$ P(A_i \ cap A_j)= \ emptyset $ for $ i \ ne j $和$ P(A_1 \ cup A_2 \ cup.。 .. A_n)= P(A_1)+ P(A_2)+ ….. P(A_n)$

概率性质

• 如果有两个事件$ x $和$ \ overline {x} $是互补的，则互补事件的概率为-

  $$ p(\ overline {x})= 1-p(x)$$

• 对于两个不相交的事件A和B，两个事件并集的概率为-

  $ P(A \ B杯)= P(A)+ P(B)$

• 如果事件A是另一个事件B的子集(即$ A \ subset B $)，则A的概率小于或等于B的概率。因此，$ A \ subset B $表示$ P(A )\ leq p(B)$

条件概率

事件B的条件概率是在事件A已经发生的情况下事件将发生的概率。这被写为$ P(B | A)$。

数学上-$ P(B | A)= P(A \ cap B)/ P(A)$

如果事件A和事件B是互斥的，则事件A之后的事件B的条件概率将是事件B的概率为$ P(B)$。

问题1

在一个国家/地区，所有青少年中有50％拥有自行车，而所有青少年中有30％拥有自行车和自行车。考虑到青少年拥有自行车，青少年拥有自行车的概率是多少?

解

让我们假设A是青少年仅拥有自行车的事件，B是青少年仅拥有自行车的事件。

因此，根据给定的问题，$ P(A)= 50/100 = 0.5 $和$ P(A \ cap B)= 30/100 = 0.3 $。

$ P(B | A)= P(A \ cap B)/ P(A)= 0.3 / 0.5 = 0.6 $

因此，假设少年拥有自行车，少年拥有自行车的概率为60％。

问题2

在课堂上，所有学生中有50％玩板球，而所有学生中有25％玩板球和排球。考虑到学生打板球，学生打排球的概率是多少?

解

让我们假设A是学生仅打板球的比赛，B是学生仅打排球的比赛。

因此，根据给定的问题，$ P(A)= 50/100 = 0.5 $和$ P(A \ cap B)= 25/100 = 0.25 $。

$ P \ lgroup B \ rvert A \ rgroup = P \ lgroup A \ cap B \ rgroup / P \ lgroup A \ rgroup = 0.25 / 0.5 = 0.5 $

因此，假设学生打板球，学生打排球的概率为50％。

问题3

六台好笔记本电脑和三台有缺陷的笔记本电脑混在一起。为了找到有缺陷的笔记本电脑，所有笔记本电脑都经过了一对一的随机测试。在前两个选择中找到两个有缺陷的笔记本电脑的概率是多少?

解

假设A是在第一次测试中发现笔记本电脑有故障的事件，B是在第二次测试中发现笔记本电脑有故障的事件。

因此，$ P(A \ cap B)= P(A)P(B | A)= 3/9 \乘以2/8 = 1/12 $

贝叶斯定理

定理-如果A和B是两个互斥的事件，其中$ P(A)$是A的概率，而$ P(B)$是B的概率，$ P(A | B)$是A的概率鉴于B为真。 $ P(B | A)$是给定A为真的B的概率，则贝叶斯定理指出-

$$ P(A | B)= \ frac {P(B | A)P(A)} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} P(B | Ai)P(Ai)} $$

贝叶斯定理的应用

• 在所有样本空间事件都是互斥事件的情况下。

• 在每个$ A_i $的$ P(A_i \ cap B)$或每个$ A_i $的$ P(A_i)$和$ P(B | A_i)$已知的情况下。

问题

考虑三个笔架。第一个笔架包含2支红笔和3支蓝笔。第二个有3个红笔和2个蓝笔；第三支有4支红笔和1支蓝笔。每个笔架的选择可能性均等。如果一支笔是随机绘制的，那它是一支红笔的概率是多少?

解

让$ A_I $是^第i^个笔支架选择的事件。

在这里，i = 1,2,3。

由于选择笔架的可能性相等，因此$ P(A_i)= 1/3 $

令B为绘制红笔的事件。

在第一个笔架的五支笔中选择一支红笔的概率，

$ P(B | A_1)= 2/5 $

在第二支笔架的五支笔中选择一支红笔的可能性，

$ P(B | A_2)= 3/5 $

在第三支笔架的五支笔中选择一支红笔的可能性，

$ P(B | A_3)= 4/5 $

根据贝叶斯定理，

$ P(B)= P(A_1).P(B | A_1)+ P(A_2).P(B | A_2)+ P(A_3).P(B | A_3)$

$ = 1/3。 2/5 \：+ \：1/3。 3/5 \：+ \：1/3。 4/5 $

$ = 3/5 $