连接的无向图$ G $的生成树是最小包含$ G $的所有顶点的树。图可能有许多生成树。

例

最小生成树

分配的权重小于或等于加权，连通和无向图$ G $的每个可能的生成树的权重的生成树，称为最小生成树(MST)。生成树的权重是分配给生成树每个边缘的所有权重的总和。

例

克鲁斯卡尔算法

Kruskal算法是一种贪婪算法，可为连接的加权图找到最小生成树。它找到该图的一棵树，其中包括每个顶点，并且树中所有边的总权重小于或等于每个可能的生成树。

算法

步骤1-按照其边缘权重，按升序排列给定图$ G(V，E)$的所有边缘。

步骤2-从图中选择最小的加权边，并检查它是否形成了迄今为止形成的生成树的循环。

步骤3-如果没有循环，则将此边缘包括在生成树中，否则将其丢弃。

步骤4-重复步骤2和步骤3，直到生成树中剩下$(V-1)$个边。

问题

假设我们要使用Kruskal算法为以下图G找到最小生成树。

解

从上图我们构建下表-

现在我们将相对于Edge权重按升序重新排列表-

由于在上图中获得了所有5条边，因此我们停止了算法，这是最小的生成树，其总权重为$(1 + 2 + 3 + 5 + 9)= 20 $。

普里姆算法

Prim的算法是由数学家Vojtech Jarnik和Robert C. Prim于1930年发现的，是一种贪婪算法，可以为连接的加权图找到最小的生成树。它找到该图的一棵树，其中包括每个顶点，并且树中所有边的总权重小于或等于每个可能的生成树。 Prim的算法在密集图上更快。

算法

• 用一个顶点初始化最小生成树，该顶点是从图中随机选择的。

• 重复步骤3和4，直到所有顶点都包含在树中。

• 选择连接树和树中尚未存在的顶点的边，以使边的权重最小，并且不包含边不会形成循环。

• 添加选定的边和连接到树的顶点。

问题

假设我们要使用Prim算法找到下图G的最小生成树。

解

在这里，我们从顶点“ a”开始并继续。

这是最小的生成树，其总权重为$(1 + 2 + 3 + 5 + 9)= 20 $。