为了解决该问题，所需时间是aT(n / b) 。如果我们认为除法所需的时间为D(n) ，而合并子问题的结果所需的时间为C(n) ，则递归关系可以表示为-

$$ T(n)= \开始{cases} \：\：\：\：\：\：\：\：\：\：\：\：\：\：\：\：\：\：\：\ :: \：\：\：\：\ theta(1)＆if \：n \ leqslant c \\ a T(\ frac {n} {b})+ D(n)+ C(n)＆否则\ end {情况} $$

递归关系可以使用以下方法解决-

• 替代方法-在这种方法中，我们猜测一个界限，并使用数学归纳法证明我们的假设是正确的。

• 递归树方法-在此方法中，形成递归树，其中每个节点代表成本。

• 大师定理-这是发现递归关系复杂性的另一项重要技术。

摊销分析

摊销分析通常用于执行一系列相似操作的某些算法。

• 摊销分析提供了整个序列的实际成本的限制，而不是分别限制操作序列的成本。

• 摊销分析不同于平均案例分析；摊销分析不涉及概率。摊销分析可确保在最坏的情况下每个操作的平均性能。

由于设计和分析紧密相关，因此它不仅是一种分析工具，还是一种思考设计的方法。

汇总法

聚合方法提供了问题的全局视图。在这种方法中，如果n次操作总共花费最坏情况下的时间T(n) 。那么，每个操作的摊销成本为T(n)/ n 。尽管不同的操作可能花费不同的时间，但是在此方法中，可以忽略不计的成本。

会计方法

在这种方法中，根据实际费用将不同的费用分配给不同的操作。如果工序的摊销成本超过其实际成本，则将差额作为贷项分配给对象。该信用额有助于支付以后的业务，这些业务的摊余成本小于实际成本。

如果第i^次操作的实际成本和摊销成本是$ c_ {i} $和$ \ hat {c_ {l}} $，则

$$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ hat {c_ {l}} \ geqslant \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n c_ {i} $$

电位法

此方法将预付费功表示为势能，而不是将预付费功视为功劳。可以释放这种能量来支付将来的运行费用。

如果我们从初始数据结构D ₀开始执行n次操作。让我们考虑， c _i是实际成本， D _i是^第i^次操作的数据结构。势函数Ф映射到实数Ф( D _i )，即相关的D _i势。摊销成本$ \ hat {c_ {l}} $可以定义为

$$ \ hat {c_ {l}} = c_ {i} + \ Phi(D_ {i})-\ Phi(D_ {i-1})$$

因此，总摊销成本为

$$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ hat {c_ {l}} = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n(c_ {i} + \ Phi(D_ {i} )-\ Phi(D_ {i-1}))= \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n c_ {i} + \ Phi(D_ {n})-\ Phi(D_ {0})$ $

动态表

如果为表分配的空间不足，则必须将表复制到更大的表中。同样，如果从表中删除了大量成员，则最好以较小的大小重新分配表。

使用摊销分析，我们可以证明插入和删除的摊销成本是恒定的，动态表中未使用的空间永远不会超过总空间的恒定分数。

在本教程的下一章中，我们将简要讨论渐近符号。