生成树是无向图的子集，该图的所有顶点都通过最小数量的边连接。

如果所有顶点都连接在一个图中，则至少存在一棵生成树。在一个图中，可能存在一个以上的生成树。

物产

• 生成树没有任何循环。
• 可以从任何其他顶点到达任何顶点。

例

在下图中，突出显示的边缘形成一棵生成树。

最小生成树

最小生成树(MST)是连接的加权无向图的边的子集，该边将所有顶点与最小可能的总边权重连接在一起。要导出MST，可以使用Prim算法或Kruskal算法。因此，我们将在本章中讨论Prim算法。

正如我们所讨论的，一个图可能有一个以上的生成树。如果有n个顶点，则生成树应具有n -1个边。在这种情况下，如果图的每个边都与一个权重相关联，并且存在一个以上的生成树，则我们需要找到图的最小生成树。

此外，如果存在任何重复的加权边，则该图可能具有多个最小生成树。

在上图中，我们显示了生成树，尽管它不是最小生成树。此生成树的成本为(5 + 7 + 3 + 3 + 5 + 8 + 3 + 4)= 38。

我们将使用Prim的算法来查找最小生成树。

普里姆算法

Prim的算法是一种寻找最小生成树的贪婪方法。在此算法中，要形成MST，我们可以从任意顶点开始。

Algorithm: MST-Prim’s (G, w, r) 
for each u є G.V 
   u.key = ∞ 
   u.∏ = NIL 
r.key = 0 
Q = G.V 
while Q ≠ Ф 
   u = Extract-Min (Q) 
   for each v є G.adj[u] 
      if each v є Q and w(u, v) < v.key 
         v.∏ = u 
         v.key = w(u, v) 

函数Extract-Min以最小的边成本返回顶点。此函数适用于最小堆。

例

使用Prim的算法，我们可以从任何顶点开始，让我们从顶点1开始。

顶点3以最小的边成本连接到顶点1 ，因此边(1、2)被添加到生成树。

接下来，认为边缘(2、3)是边缘{(1、2)，(2、3)，(3、4)，(3、7)}中的最小值。

在下一步中，我们以最小的成本得到边(3，4)和(2，4) 。随机选择边(3，4) 。

以类似的方式，选择边缘(4、5)，(5、7)，(7、8)，(6、8)和(6、9) 。当所有顶点都被访问时，算法将停止。

生成树的成本为(2 + 2 + 3 + 2 + 5 + 2 + 3 + 4)=23。此图中没有其他生成树，且成本小于23 。