在本章中，我们将首先讨论矩阵乘法的一般方法，然后再讨论Strassen的矩阵乘法算法。

问题陈述

让我们考虑两个矩阵X和Y。我们想通过乘以X和Y来计算结果矩阵Z。

天真的方法

首先，我们将讨论朴素的方法及其复杂性。在这里，我们正在计算Z = X×Y 。使用朴素方法，如果两个矩阵的顺序为p×q和q×r，则可以将两个矩阵( X和Y )相乘。以下是算法。

Algorithm: Matrix-Multiplication (X, Y, Z) 
for i = 1 to p do 
   for j = 1 to r do 
      Z[i,j] := 0 
      for k = 1 to q do 
         Z[i,j] := Z[i,j] + X[i,k] × Y[k,j] 

复杂

在这里，我们假设整数运算需要O(1)时间。此算法中有三个for循环，一个嵌套在另一个循环中。因此，该算法需要O(n ³ )时间来执行。

Strassen的矩阵乘法算法

在这种情况下，使用Strassen的矩阵乘法算法，可以将时间消耗略微改善。

Strassen的矩阵乘法只能在n为2的幂的平方矩阵上执行。两个矩阵的阶数均为n×n 。

将X ， Y和Z分成四个(n / 2)×(n / 2)矩阵，如下所示-

$ Z = \ begin {bmatrix} I＆J \\ K＆L \ end {bmatrix} $ $ X = \ begin {bmatrix} A＆B \\ C＆D \ end {bmatrix} $和$ Y = \ begin {bmatrix} E＆F \\ G＆H \ end {bmatrix} $

使用Strassen的算法计算以下内容-

$$ M_ {1} \：\冒号=(A + C)\次(E + F)$$

$$ M_ {2} \：\冒号=(B + D)\次(G + H)$$

$$ M_ {3} \：\ colon =(AD)\ times(E + H)$$

$$ M_ {4} \：\ colon = A \ times(FH)$$

$$ M_ {5} \：\冒号=(C + D)\次(E)$$

$$ M_ {6} \：\冒号=(A + B)\次(H)$$

$$ M_ {7} \：\ colon = D \ times(GE)$$

然后，

$$ I \：\ colon = M_ {2} + M_ {3}-M_ {6}-M_ {7} $$

$$ J \：\ colon = M_ {4} + M_ {6} $$

$$ K \：\ colon = M_ {5} + M_ {7} $$

$$ L \：\ colon = M_ {1}-M_ {3}-M_ {4}-M_ {5} $$

分析

$ T(n)= \ begin {cases} c＆if \：n = 1 \\ 7 \：x \：T(\ frac {n} {2})+ d \：x \：n ^ 2＆否则\ end {cases} $，其中c和d为常数

使用该递归关系，我们得到$ T(n)= O(n ^ {log7})$

因此，斯特拉森矩阵乘法算法的复杂度为$ O(n ^ {log7})$。