相对运动

如果你从一列行驶的火车的窗外看一眼，你会看到另一列静止的火车看起来正在倒退。是什么让静止的火车看起来在移动？其背后是一个称为相对运动的关键思想，它将帮助我们理解为什么事物在不同的帧中会出现不同的运动。

为了解释一维或多维的相对运动，最初提出了参考系的概念。当我们声明一个项目具有特定的速度时，我们指的是相对于称为参考框架的某个框架的速度。当我们在日常生活中测量物体的速度时，我们使用地面或地球作为参考系。

直线运动：也称为直线运动，直线运动是指当物体沿直线运动时物体相对于时间的位移。它是一维运动，单独使用 X 轴坐标系可以很好地表达。例如， 汽车沿着相同的路径行驶，如下图所示：

相对运动

Relative motion can be termed as the motion of an object with respect to some other object either at rest or in motion, that is, either moving or stationary object. The motion of the object is not calculated in reference to the surface of the earth. 

计算相对运动时的假设是理解另一个对象处于静止状态。相对运动包括运动的所有方面，即速度、速度或加速度。

如果我们考虑一个人坐在飞机上，这个人看起来相对于飞机的速度为零，但实际上考虑到地面，它以与飞机相同的速度移动。在这个运动中，它依赖于被观察者所观察到的——依赖于观察者的参考系。对象可以相对于彼此在相同或不同方向上移动。

相对速度

当另一个物体沿相同或相反方向移动时，会考虑物体的相对速度。所涉及对象的速度可以相对于彼此增加、减少或恒定。

让我们假设两个对象 A 和 B 的初始位置都在原点，分别在点 x _A (0) 和 x _B (0)。这些对象在时间实例 t 的对应位置将等价于，

x _A (t) = x _A (0) + v _A t

x _B (t) = x _B (0) + v _B t

从物体 A 到 B 的位移由下式给出，

[x _B (0) – x _A (0)] + (v _B -v _A )t

B 相对于 A 的速度由下式给出，

v _BA = v _B – v _A

A 相对于 B 的速度由下式给出，

v _AB = v _A – v _B

描述相对速度的 PT 图

• 两个物体以相同的速度向同一方向运动。

V _B = V _A , V _BA = V _AB = 0

• 两个物体彼此明显静止。

V _A > V _B , V _BA = -V _AB

• V _BA和V _AB的大小将低于V _A和V _B的大小。对象 A 出现的速度比 B 快。

V _A和 V _B符号相反：V _BA = -V _AB

• V _BA和V _AB的大小将高于V _A和V _B的大小。两个对象将看起来彼此移动得更快。

参考框架

The velocity of an object is always considered with the reference to a time and reference (position) frame. The object takes a uniform velocity with a particularly visible frame of reference. The frame of reference is considered to be the surface of the earth for all practical purposes. 

例如，考虑到物体的运动，则假设地球表面为参考系，所有运动均以该静止点为参考。对象可以在相同或相反的方向上。相对运动可以在多个维度上沿直线或平面进行考虑。

一维的相对运动

物体的速度可以在两个方向中的任何一个上考虑，相同或相反。可能会出现以下情况：

• 对象可能相对于彼此沿相同方向移动。

如果物体和人在同一个方向移动，例如以地球表面为参考系的火车和人。火车相对于地球的速度可以写成：

$\vec{v}_{TE}=v \space m/s\ \hat{i}$

这个速度可以被认为是正的。

• 对象可能在相对于彼此的相反方向上移动。

如果物体和人在同一个方向移动，例如，一列火车和一个人以地球表面为参考系向车站向后移动。火车相对于地球的速度可以写成：

$\vec{v}_{PT}=-v \space m/s\ \hat{i}$

这个速度可以被认为是负的。

可以计算速度矢量的总和以找到人相对于地球的速度。相对速度由下式给出，

$\vec{v}_{PE}=\vec{v}_{PT}+\vec{v}_{TE}$

可以根据需要安排下标的顺序。在向量方程的构建过程中，耦合参考系的下标连续出现在内参考系。

图1

让我们假设沿同一方向移动的物体的第一速度为 10 m/s。在第二种情况下，人在与火车相反的方向上移动的速度为 -2 m/s。添加向量，我们发现，

$\vec{v}_{PE}=8m/s\ \hat{i}$

得出的结论是，该人相对于地球向东移动 8 m/s。火车相对于地球、人相对于火车和人相对于地球的速度矢量。

图 2

二维相对运动

让我们考虑两个物体 P 和 Q，它们中的每一个都分别以匀速 v ₁和 v ₂运动。物体的运动被认为在同一方向上彼此平行。起始时间实例为 0，在原点。让我们假设它们在某个其他时间实例从原点 X ₀₁和 X ₀₂的位移。

在时间 't'：位移变为 x ₁和 x ₂相对于位置轴的原点，对象 P 在特定时间实例的位置变为：

x ₁ = x ₀₁ + v ₁ t …….(1)

同样，对于对象 Q ：

x ₂ = x ₀₂ + v ₂ t …….(2)

等式。

从（2）中减去等式（1），我们得到：

(x ₂ – x ₁ ) = (x ₀₂ – x ₀₁ ) + (v ₂ – v ₁ )t …….(3)

我们有，x ₀₁和 x ₀₂是在时间实例 't = 0' 时对象 Q 相对于对象 P 的初始位移，因此等式简化为：

x ₀ = x ₀₂ – x ₀₁ ……(4)

将等式（4）的值代入（3）中，我们得到：

(x ₂ – x ₁ ) = x ₀ + (v ₂ -v ₁ )t …….(5)

如果我们将方程等同起来，(x ₂ – x ₁ ) 是对象 Q 在 t 秒的时间实例相对于对象 P 的位置坐标的相对位移。使用这个，我们得到，

x = x ₀ + (v _Q – v _P )t …….(6) [ 重写方程。 (5)]

还，

$\frac{x-x_0}{t}=(v_2-v_1)\ \ \ \ .........(7)$ ……(7)

因此，我们得到速度是位移的变化率。

• 同向运动物体的相对速度

使用 (7) ，推导对象 Q 相对于对象 P 的相对速度，同时沿相同方向移动。

v _QP = v ₂ – v ₁ …..(8)

• 反方向运动物体的相对速度

使用 (7)，推导对象 Q 相对于对象 P 的相对速度，同时沿相反方向移动。

v _QP = v ₂ + v ₁ ……(9)

相对速度的维数与速度的维数相同，由[M ⁰ L ¹ T ^-1 ]给出。

示例问题

问题1：运动员在赛道上参加接力赛，以各自的速度跑$\vec v_c$和$\vec v_{rel}$ .计算相对速度。

解决方案：

$\vec v=\vec vrel-\vec vc$

Now, if she moves in the opposite direction, then the equation will be:

$\vec v=\vec vrel+\vec vc$

问题 2：考虑一颗卫星以 sm/s 的速度沿赤道平面运动。求对应卫星相对于地球表面参考点的相对速度？

解决方案：

$\vec v_{se}=\vec v_s-\vec v_e$

Consider the satellite to be moving in the direction of the rotation of the earth on its axis, therefore, the velocity becomes:

$v_{se}=v_s-v_e$

问题 3：电梯以匀加速 'a' m/s ²向上移动。这个人以相对于升力的速度 v 向上抛一个橡皮球。该男子在 t 秒的时间实例后接住球。证明 a + g = 2v/t。

解决方案：

The lift frame can be assumed to be the point of reference. Therefore, the aspects of motion, acceleration, displacement, and velocity will be considered from the point of reference. When the ball returns to the man, therefore, the displacement from the lift frame becomes zero. Let us assume the velocity of the object with respect to the lift frame is v.

g – (-a) = a + g (↓)   downwards

Now, $s = ut + \frac{1}{2}at^2$   

⇒ $0 = vt - \frac{1}{2} (a+g)t^2$

or  

a + g = 2(v/t) .

问题 4：两列火车以不同的速度移动，t ₁以 10 m/s 和 t ₂以 15 m/s 在平行轨道上相互参照。计算火车 t ₁相对于 t ₂的相对速度。

解决方案：

Given, 

v₁ = 10 ms^-1 , v₂ = 15 ms^-1

Relative velocity of slow train w.r.t. the fast train = v₁ – v₂ = 10 – 15 = – 5 ms^-1 

Negative sign shows that slow train appears to move westward w.r.t. fast train with a velocity of 5 ms^-1.

问题 5：小车 A 以 40 ms ^-1的速度沿一条轨道从北向南移动，而小车 B 以与前一张卡相反的方向移动，速度为 30 ms ^-1从南向北。计算两个小车彼此的相对速度。

解决方案：

Let us consider the direction from North to South to be positive.

Therefore,

v_A = +40 ms^-1 and v_B = -30 ms^-1

(i) Relative velocity of B w.r.t. A = v_B – v_A = -30 – 40 = – 70 ms^-1 

Therefore, cart B appears to move from South to North with a speed of 70 ms^-1 for any person sitting in cart A.

(ii) Velocity of the ground, v_B = 0, since it is a stationary object. 

Relative velocity of ground w.rt. A = v_B – v_A = 0 – 40 = – 40 ms^-1 

Therefore, the ground appears to move from the south to north direction with a speed of 40 ms^-1 w.r.t. cart A.