证明自然数是无界的
自然数,包括从 1 到无穷大的所有正整数,是数系的组成部分。不包括零或负数的自然数也称为计数数。它们只是正整数,而不是零、分数、小数或负数,它们是实数的组成部分。
数字在我们周围随处可见,用于计数物品、代表或交易金钱、测量温度、告诉时间等等。这些数字被称为自然数,因为它们用于计算项目。此外,除 0 以外的所有整数的集合称为自然数。这些数字在我们的日常行动和交流中发挥着重要作用。
什么是自然数?
自然数是可数的,是实数的组成部分。自然数集合中只包含正整数,例如 1、2、3、4、5、6 等。非负整数也称为自然数(所有正整数)。
23、56、78、999、100202 等是一些示例。
自然数集
元素的集合称为集合。在数学中,自然数集表示为 {1,2,3,…}。自然数集合用符号 N 表示。
N = {1,2,3,4,5,…∞}
最小自然数
1是最小的自然数。我们知道 N 中的最小元素是 1,对于 N 中的任何元素(比该元素多 1),我们可以用 1 和 N 来讨论下一个元素。二是一大于一,三是一大于二,以此类推。
自然数的性质
自然数的四种运算,加法、减法、乘法和除法,产生自然数的四个主要特征,如下图所示:
闭包性质:自然数总是两个自然数的和和乘积。在加法和乘法方面,自然数集合 N 是封闭的,但在减法和除法方面则不是。
关联性:即使修改了数字的顺序,任何三个自然数的和或乘积都保持不变。 N 的结合性质表示对于任何 a, b, c ∈ N,a+(b+c) = (a+b)+c 和 a×(b×c) = (a×b)×c。对于加法和乘法,自然数集 N 是结合的,但在减法和除法方面则不是。
交换性:即使数列改变,两个自然数之和或乘积保持不变。 N 的交换性质说,对于任意 a,b ∈ N,a+b = b+a 和 a×b = b×a。当涉及到加法和乘法时,自然数集合 N 是可交换的,但当它涉及减法和除法。
分配性质:自然数乘法总是对加法进行分配。例如,a × (b + c) = ab + ac。自然数乘法对减法也是分布的。例如,a × (b−c) = ab−ac。
证明自然数是无界的
证明:
The Supremum Property states that every nonempty set of real numbers bounded above contains a supremum, which is a real number. There is an infimum, which is a real number, in any nonempty set of real numbers that is bounded below. The supremum property can be used to prove other real-number characteristics.
Assume N is constrained above. Then, according to the supremum characteristic, the lowest upper bound “s” exists for every n ∈ N. Consider “k” to be the largest natural integer that is less than s. Then k + 1 > s, and s is not an upper bound of N because k + 1 is a natural integer. As a result of this contradiction, we may deduce that N has no upper bound.
类似问题
问题1:整数和自然数有什么区别?
解决方案:
Only positive integers are included in natural numbers, which range from 1 to infinity. Whole numbers, on the other hand, are a mix of zero and natural numbers that begin at 0 and terminate at an infinite value.
问题2:“0”是自然数吗?
解决方案:
‘No,’ is the response to this question. Natural numbers, as we already know, range from 1 to infinity and are positive integers. However, when we combine 0 with a positive integer such as 10, 20, or any other number, we get a natural number. In reality, 0 is a full number with no meaning.