掷骰子N次后的最大点数

给定一个带有m面的骰子。骰子的第一个面包含一个点，第二个面包含两个点，依此类推，第m个面包含m个点。每张面孔都有几率出现$1/m$ 。我们的任务是在掷出骰子后计算预期的最大点数$n$时代。

例子：

Input: 2 2
Output: 1.750000000000

Here the dice contains {1, 2}.
So, the sample space of throwing the dice two times = $2^2$
{(1, 2), (1, 1), (2, 1), (2, 2)}
For (1, 2)–> maximum=2
For (1, 1)–> maximum=1
For (2, 2)–> maximum=2
For (2, 1)–> maximum=2
The probability of each outcome is 0.25
that is expectation equals to
(2+1+2+2)*(0.25) = 7/4 = 1.750000000000

Input: 6 3
Output: 4.958333333333

方法：
在这个问题上的关键观察是没有。一个数字最多可以出现的次数取决于其先前的数字。
对于第i个数字，它将是$i^n-(i-1)^n$ 。
以m = 6，n = 2为例。
最大值等于6的总数等于$6^2-5^2$ 。
最大值等于5的总数等于$5^2-4^2$ 。
同样，我们可以找到4,3,2和1。
6 6 6 6 6 6
5 5 5 5 5 6
4 4 4 4 5 6
3 3 3 4 5 6
2 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
枚举最大数量，分布将是一个具有m个长度边的n维超级立方体。每层将是一个大的立方体减去一个较小的立方体。
因此，我们的答案将是从1到m的所有第i个元素的和：

$(i*(i^n-(i-1)^n)/m^n$

计算中$i^n$可能会导致溢出，因此我们可以将除数移到总和中并进行计算$(i/m)^n$反而。

C++

// CPP program for above implementation
#include 
using namespace std;
  
// Function find the maximum expectation
double expect(double m, double n)
{
    double ans = 0.0, i;
  
      
       for (i = m; i; i--)
        // formula to find the maximum number and
        // sum of maximum numbers
        ans += (pow(i / m, n) - pow((i - 1) / m, n)) * i;
    
    return ans;
}
  
// Driver code
int main()
{
    double m = 6, n = 3;
    cout << expect(m, n);
  
 return 0;
}

Java

// Java program for above implementation
class GFG
{
// Function find the maximum expectation
static double expect(double m, double n)
{
    double ans = 0.0, i;
  
    for (i = m; i > 0; i--)
      
        // formula to find the maximum number 
        // and sum of maximum numbers
        ans += (Math.pow(i / m, n) - 
                Math.pow((i - 1) / m, n)) * i;
  
    return ans;
}
  
// Driver code
public static void main(String[] args)
{
    double m = 6, n = 3;
    System.out.println(String.format("%.5f",
                             expect(m, n)));
}
}
  
// This code is contributed by mits

Python3

# Python3 program for finding maximum
# number of dots after throwing a 
# dice N times.
  
# Function to find the maximum 
# expectation
def expect(m,n) :
  
    ans = 0.0
    i = m
    while (i):
          
        # formula to find the maximum 
        # number and 
        # sum of maximum numbers 
        ans += (pow(i / m, n) - pow((i-1) / m, n)) * i
        i -= 1
  
    return ans
  
# Driver code
if __name__ == "__main__" :
      
    # multiple assignments
    m,n = 6,3
  
    # function calling
    print(expect(m,n))

C#

// C# program for above implementation
using System;
  
class GFG
{
// Function find the maximum expectation
static double expect(double m, double n)
{
    double ans = 0.0, i;
  
    for (i = m; i > 0; i--)
      
        // formula to find the maximum number 
        // and sum of maximum numbers
        ans += (Math.Pow(i / m, n) - 
                Math.Pow((i - 1) / m, n)) * i;
  
    return ans;
}
  
// Driver code
public static void Main()
{
    double m = 6, n = 3;
    Console.WriteLine(expect(m, n));
}
}
  
// This code is contributed
// by Akanksha Rai

输出：

4.95833

时间复杂度： O(m)