计算可能字符串的数量

在某些编程题中，需要计算在给定条件下，不同可能字符串的数量。下面介绍两个常见情形：

1. 从给定字符集中选取若干字符

例如，从26个小写字母中选取长度为3的字符串，需要计算不同的组合数量。一种简单的方法是使用排列组合公式：

$$ C_n^m = \frac{n!}{m!(n - m)!} $$

其中 $C_n^m$ 表示从 $n$ 个元素中选取 $m$ 个元素的组合数量，$n!$ 表示 $n$ 的阶乘。对于上述问题，公式变形为：

$$ C_{26}^3 = \frac{26!}{3!(26-3)!} = 2600 $$

因此，从26个小写字母中选取长度为3的字符串的不同组合数量为 2600。

2. 满足一定规则的字符串

如果给定字符串需要满足一定规则，如不能有连续相同字符等，计算可能字符串的数量就较为复杂。

以一个例子说明：给定一个长度为 $n$ 的字符串，每个字符可以是小写字母或数字。请计算满足以下任意一个条件的非空子串数量：

• 所有字符都相同
• 所有字符都不相同
• 恰有一个字符重复出现一次

假设 $n = 3$，即给定字符串长度为3。我们可以使用动态规划算法，从长度较短的子串开始计算。具体地，设 $dp_{i,j,k}$ 表示从字符串的第 $i$ 个字符到第 $j$ 个字符组成的子串中，满足第 $k$ 个条件的子串数量。则有以下递推关系：

$$ \begin{aligned} dp_{i,i,1} &= dp_{i,i,2} = dp_{i,i,3} = 1 \ \ dp_{i,j,k} &= dp_{i,j-1,k} + (p_k(i, j) ? 1 : 0) \ \ p_1(i, j) &= (s_i = s_j) \ p_2(i, j) &= |set(s_i, ..., s_j)| = j - i + 1 \ p_3(i, j) &= |set(s_i, ..., s_j)| = j - i \end{aligned} $$

其中，$p_k(i, j)$ 表示满足第 $k$ 个条件的子串的判断条件。

最终的答案为 $dp_{1,n,1} + dp_{1,n,2} + dp_{1,n,3}$，即满足任意一个条件的非空子串数量。

参考资料：

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

[2] https://www.acwing.com/solution/content/8687/