Newton Raphson 方法与常规 Falsi 方法的区别

数值计算在解决现实生活中的数学问题中发挥着重要作用。数值方法是通过应用算术运算来制定数学问题以找到近似结果的过程。在这方面，不需要算法，因为数值方法需要编程逻辑概念来实现。以下是数值方法的过程，

• 用简单的算术运算公式化数学问题。这个公式称为问题的数值实现。
• 然后为数值实现开发编程逻辑。编程通常使用一些高级语言，如 Fortran、Basic 等。
• 然后程序在计算机等计算工具上执行。
• 结果显示在屏幕上。

问题的解决方案有不同的数值方法，但具体的方法取决于问题所在的情况。以下方法属于获得方程根的概念。

牛顿拉夫森法

Newton Raphson 方法是二分法和假定位法中最快的方法之一。在此方法中，采用一个初始近似值而不是两个。它是确定方程 f(x) = 0 的实根的过程，仅给定一个接近所需根的点。

Newton raphson 方法的公式： x ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

示例：求方程的根 f(x) = x ³ – x – 1

解决方案：

给定方程 x ³ – x – 1 = 0

使用微分法，方程为，

∴ f′(x) = 3x ² – 1

这里，f(1) = -1 < 0 和 f(2) = 5 > 0

∴ 根位于 1 和 2 之间

x ₀ = (1 + 2)/2 = 1.5

• 在第一次迭代中

f(x ₀ ) = f(1.5) = 0.875

f′(x ₀ ) = f′(1.5) = 5.75

x ₁ = x ₀ – f(x ₀ ) / f′(x ₀ )

=1.5 – 0.875/ 5.75

x ₁ = 1.34783

• 在第二次迭代中

f(x ₁ ) = f(1.34783) = 0.10068

f′(x ₁ ) = f′(1.34783) = 4.44991

x ₂ = x ₁ – f(x ₁ )/f′(x ₁ )

= 1.34783 – 0.10068/4.44991

x ₂ = 1.3252

• 在第三次迭代中

f(x ₂ ) = f(1.3252) = 0.00206

f′(x ₂ ) = f′(1.3252) = 4.26847

x ₃ = x ₂ – f(x ₂ )/f′(x ₂ )

=1.3252 – 0.00206/4.26847

x ₃ = 1.32472

• 在第 4 次迭代中

f(x ₃ ) = f(1.32472) = 0

f′(x ₃ ) = f′(1.32472) = 4.26463

x ₄ = x ₃ – f(x ₃ )/f′(x ₃ )

=1.32472 – 0/ 4.26463

x ₄ = 1.32472

方程 x ³ – x – 1 = 0 使用 Newton Raphson 方法的近似根为 1.32472。

Newton Raphson 方法的优点

• 它是求解非线性方程的最佳方法。
• 它还用于求解非线性方程、非线性微分和非线性积分方程。
• 收敛的顺序是二次的。
• 很容易在电脑上实现。

Newton Raphson 方法的缺点

• 如果函数f(x) 的导数不简单，这种方法就会变得复杂。
• 如果 f(x) = 0，对于某个 x 值，此方法也会失败。
• 在每次迭代中，我们必须为某个 x 评估两个量 f(x) 和 f'(x)。

正则假法

此方法与二分法相同，但它必须比二分法更快。这是找到方程 f(x) = 0 的实根的最古老的方法之一，并且与二分法非常相似。

Regula Falsi 方法的图形表示

常规 falsi 方法的公式： $x_{n+1} = (x_{n-1}f(x_n) - \frac{x_nf(x_{n-1}))}{(f(x_n)-f(x_{n-1}))}$

示例：求方程的根 f(x) = x ³ – x – 1

解决方案：

给定方程，x ³ – x – 1 = 0

让 x = 0, 1, 2

• 在第一次迭代中

f(1) = -1 < 0 和 f(2) = 5 > 0

根位于这两个点 x ₀ = 1 和 x ₁ = 2 之间

x ₂ = x ₀ – f(x ₀ )

= x ₁ – x ₀

f(x ₁ ) – f(x ₀ )

x ₂ = 1 – (-1)⋅

= 2 – 1

= 5 – (-1)

x ₂ = 1.16667

f(x ₂ ) = f(1.16667) = -0.5787 < 0

• 在第二次迭代中

f(1.16667) = -0.5787 < 0 和 f(2) = 5 > 0

根位于这两个点之间 x ₀ = 1.16667 和 x ₁ = 2

x ₃ = x ₀ – f(x ₀ )

= x ₁ – x ₀

f(x ₁ ) – f(x ₀ )

x ₃ = 1.16667 – (-0.5787)

= 2 – 1.16667

= 5 – (-0.5787)

x ₃ = 1.25311

f(x ₃ ) = f(1.25311) = -0.28536 < 0

• 在第三次迭代中

f(1.25311) = -0.28536 < 0 和 f(2) = 5 > 0

根位于这两点之间 x ₀ = 1.25311 和 x ₁ = 2

x ₄ = x ₀ – f(x ₀ )⋅

= x ₁ – x ₀

f(x ₁ ) – f(x ₀ )

x ₄ = 1.25311 – (-0.28536)⋅

= 2 – 1.25311

= 5 – (-0.28536)

x ₄ = 1.29344

f(x ₄ ) = f(1.29344) = -0.12954 < 0

• 在第 4 次迭代中

f(1.29344) = -0.12954 < 0 和 f(2) = 5 > 0

根位于这两点之间 x ₀ = 1.29344 和 x ₁ = 2

x ₅ = x ₀ – f(x ₀ )⋅

= x ₁ – x ₀

= f(x ₁ ) – f(x ₀ )

x ₅ = 1.29344 – (-0.12954)⋅

= 2 – 1.29344

= 5 – (-0.12954)

x ₅ = 1.31128

f(x ₅ ) = f(1.31128) = -0.05659 < 0

• 在第 5 次迭代中

f(1.31128) = -0.05659 < 0 和 f(2) = 5 > 0

根位于这两点之间 x ₀ = 1.31128 和 x ₁ = 2

x ₆ = x ₀ – f(x ₀ )⋅

= x ₁ – x ₀

= f(x ₁ ) – f(x ₀ )

x ₆ = 1.31128 – (-0.05659)⋅

= 2 – 1.31128

= 5 – (-0.05659)

x ₆ = 1.31899

f(x ₆ ) = f(1.31899) = -0.0243 < 0

• 在第 6 次迭代中

f(1.31899) = -0.0243 < 0 和 f(2) = 5 > 0

根位于这两点之间 x ₀ = 1.31899 和 x ₁ = 2

x ₇ = x ₀ – f(x ₀ )⋅

= x ₁ – x ₀

f(x ₁ ) – f(x ₀ )

x ₇ = 1.31899 – (-0.0243)⋅

= 2 – 1.31899

= 5 – (-0.0243)

x ₇ = 1.32228

f(x ₇ ) = f(1.32228) = -0.01036 < 0

• 在第 7 次迭代中

f(1.32228) = -0.01036 < 0 和 f(2) = 5 > 0

根位于这两点之间 x ₀ = 1.32228 和 x ₁ = 2

x ₈ = x ₀ – f(x ₀ )⋅

x ₁ – x ₀

f(x ₁ ) – f(x ₀ )

x ₈ = 1.32228 – (-0.01036)⋅

= 2 – 1.32228

= 5 – (-0.01036)

x ₈ = 1.32368

使用 Regula Falsi 方法的方程 x ³ – x – 1 = 0 的近似根为 1.32368。

正则假法的优点

• 它的收敛速度比二分法快。
• 在计算机上很容易实现。
• 在开始下一次迭代之前；只需要找到 id f(x _{n + 1} )

正则假法的缺点

• 公式非常复杂。
• 与其他方法相比，耗时。

正则 Falsi 方法与 Newton Raphson 方法的比较

Sr. No.	Regular Falsi Method	Newton Raphson Method
1.	The rate of convergence is superlinear.	Here, the rate of convergence is second-order or quadratic.
2.	Formula is: $x_{n+1} = (x_{n-1}f(x_n) - \frac{x_nf(x_{n-1}))}{(f(x_n)-f(x_{n-1}))}$	Formula is: x1 = x0 – f(x0)/f'(x0)
3.	In this method, two initial approximations of the root are taken in which the root is expected to lie.	In this method, one initial approximation of the root is taken.
4.	The computation of function per iteration is 1.	The computation of function per iteration is 2.
5.	The initial approximation is less sensitive.	The initial approximation is very sensitive.
6.	There is no need to find derivatives.	There is a need to find derivatives.
7.	It is not applicable for finding complex, multiple, and nearly equal two roots.	It is applicable for finding complex, multiple, and nearly equal two roots.